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Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Cours de Trait

Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier guillaume.hiet@rennes.supelec.fr ESTACA 6 septembre 2007 Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 1/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Plan du cours 1 Signaux usuels et produit scalaire 2 Etude des signaux périodiques Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 2/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Fonction signe signum : sgn(t) = −1, ∀t < 0 1, ∀t > 0 Valeur à l’origine arbitraire : −1 < sgn(0) < 1 Par convention : sgn(0) = 0 Fonction de Heaviside Saut unité : ϵ(t) = 0, ∀t < 0 1, ∀t > 0 Valeur à l’origine arbitraire : 0 < ϵ(0) < 1 Par convention : ϵ(0) = 1/2 ou ϵ(0) = 1 Remarque : ϵ(t) = 1 2 + 1 2.sgn(t) Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 3/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Fonction porte Fonction rectangulaire normalisée rect(t) = 1, |t| < 1 2 0, |t| > 1 2 Remarque : rect(t) = ϵ(t + 1 2) −ϵ(t −1 2) Fonction porte généralisée Retard : t →(t −τ) Allongement : t →t T ΠA T(t −τ) = A.rect(t−τ T ) Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 4/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Fonctions périodiques ∀t, f (t + T0) = f (t) Période : plus petit T0 non nul Cas général : pas de modèle simple Exemple : machines tournantes (roulements...) Cas particulier : fonctions sinusoïdales f (t) = A.sin (ωt + Φ) fréquence ω = 2π.f période T = 1 f Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 5/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Historique Daniel Bernoulli : idée de décomposition en série trigonométrique (étude des cordes vibrantes) Joseph Fourier, 1822 : résolution de l’équation de la chaleur (Théorie analytique de la chaleur) Les Séries de Fourier constituent la branche la plus ancienne de l’analyse harmonique, mais n’en demeurent pas moins un domaine vivant, aux nombreuses questions ouvertes. L ’étude de leurs particularités est allée de pair, pendant tout le XIXe siècle, avec les progrès de la théorie de l’intégration. Généralisation par la Transformée de Fourier Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 6/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Produit scalaire Déﬁnition < x(t), y(t) >= ! t2 t1 x(t).y(t)dt Propriétés Norme : ||x(t)||2 =< x(t), x(t) > Symétrie hermitienne : < x(t), y(t) >= < y(t), x(t) > Signaux ortogonaux sur [t1, t2] ⇔< x(t), y(t) >= 0 Exemples... Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 7/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Décomposition des signaux Principe Trouver une base de signaux φi(t) ∀n ̸= m, < φn, φm >= 0 Choix : φn(t) = ej.n.ω.t Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 8/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Développement complexe en Séries de Fourier Conditions Fonctions périodiques Fonctions de carré intégrable sur une période Représentation complexe Déﬁnition : Sx = +∞ # n=−∞ Xn.ej.ω.n.t Calcul des coefﬁcients : Xn = 1 T ! t0+T t0 x (t) .e−j.ω.n.tdt Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 9/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Développement en Séries de cos/sin Déﬁnition : Sx = a0 + +∞ # n=1 An. cos(ω.n.t) + Bn. sin(ω.n.t) Calcul des coefﬁcients : A0 = 1 T ! t0+T t0 x (t) dt An = 2 T ! t0+T t0 x (t) . cos(ω.n.t)dt Bn = 2 T ! t0+T t0 x (t) . sin(ω.n.t)dt Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 10/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Propriétés f réelle et paire (sur une période) ⇒∀n, bn = 0, cn = an 2 = c−n f réelle et impaire (sur une période) ⇒∀n, an = 0, cn = −j.bn 2 = −c−n dérivation : si y = x′ alors Sy = " n Yn.ej.ω.n.t avec Yn = j.ω.n.Xn si ∀t, y (t) = x (−t), alors Yn = X−n conjugaison : si ∀t, y (t) = x (t) alors Yn = X−n signal réel : Xn = X−n addition d’une constante : si ∀t, y (t) = x (t) + K, K ∈R alors Y0 = X0 + K et ∀n ̸= 0, Yn = Xn Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 11/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Représentation de la décomposition Notion de spectre Tracé de |Xn| en fonction de f ou n Tracé de arg (Xn) en fonction de f ou n Signal réel ⇒Xn = X−n ⇒|Xn| = |X−n| ⇒arg (Xn) = −arg (X−n) Exemples Une petite applet... Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 12/13 Signaux usuels et produit scalaire Etude des signaux périodiques Aspect Energétique Théorème de Parceval 1 T ! T x (t) .y (t)dt = # n Xn.Yn Application au calcul d’énergie On pose : y = x 1 T $ T x (t) .x (t)dt = " n Xn.Xn Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Séries de Fourier 13/13 uploads/Marketing/ series-de-fourier-pdf.pdf