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Chapitre 1. Signaux à temps continu 1.1 Présentation 1.1.1. Définition Les sign

Chapitre 1. Signaux à temps continu 1.1 Présentation 1.1.1. Définition Les signaux déterministes à temps continu sont les signaux dont on connaît la valeur à chaque instant. Ils sont généralement décrits mathématiquement sous la forme d'une fonction s(t) où la variable t est associée au temps. On rappelle ici que la continuité porte sur le temps, ceci par opposition aux signaux à temps discret qui ne sont définis que pour un ensemble dénombrable de valeurs du temps. Par ailleurs, en l'absence d'autre précision, les signaux considérés dans ce chapitre sont supposés à valeurs réelles. 1.1. Présentation 1.1.1. Définition 1.1.2. Sous-classes de signaux à temps continu 1.1.3. Valeurs caractéristiques de signaux à temps continu 1.1.4. Signaux retardés et avancés 1.2. Puissance et énergie des signaux à temps continu 1.2.1. Cas d'une résistance : rappels 1.2.2. Définitions - Classification 1.2.3. Remarques 1.3. Signaux à temps continu particuliers 1.3.1. Rampe unitaire 1.3.2. Echelon unité ( ou de Heaviside ) 1.3.3. Fonction signe 1.3.4. Fonction porte ou fenêtre rectangulaire 1.3.5. Fenêtre triangulaire ( ou de Barlett ) 1.3.6. Impulsion de Dirac 1.3.7. Peigne de Dirac 1.3.8. Fonction exponentielle complexe 1.3.9. Fonction sinus cardinal 1.3.10. Remarques 1.4. Convolution de signaux à temps continu 1.4.1. Définition 1.4.2. Calcul graphique de la convolution de deux signaux 1.4.3. Propriétés du produit de convolution 1.4.4. Convolution de signaux périodiques 1.5. Tableaux récapitulatifs 1.1.2. Sous-classes de signaux à temps continu Sous-classes de signaux à temps continu en fonction de leur caractère périodique ou non Parmi les signaux à temps continu, on distingue : • Les signaux périodiques Les signaux périodiques qui obéissent à une loi de répétition cyclique régulière, de période To : On distingue dans cette classe : • les signaux sinusoïdaux qui forment le groupe le plus familier des signaux périodiques. Sa loi d'évolution s'exprime à l'aide de la fonction sinus ou cosinus : Avec A : l'amplitude du signal sinusoïdal : la pulsation du signal en rad/s : la fréquence du signal en Hz , la phase du signal en rad (appelée également phase instantanée) , la phase à l'origine (φ = θ(0) ) (ou déphasage) du signal en rad τ : le décalage du signal sinusoïdal par rapport à l'origine • Les signaux périodiques composites qui sont constitués d'une somme de signaux sinusoïdaux. • Les signaux pseudo-aléatoires qui forment une catégorie particulière de signaux périodiques dont le comportement rappelle celui d'un signal aléatoire, comme dans le cas par exemple d'une séquence binaire pseudo-aléatoire représentée ci-dessous. Séquence Binaire Pseudo-Aléatoire (SBPA) • Les signaux non périodiques Les signaux non périodiques qui ne présentent aucune périodicité. On distingue dans cette classe les signaux non transitoires des signaux transitoires dont l'existence est éphémère. 1.1.3. Valeurs caractéristiques de signaux à temps continu • Valeur moyenne La valeur moyenne (moyenne temporelle) d'un signal s(t) est donnée par : • Valeur efficace Le carré de la valeur efficace Seff ou valeur RMS (Root Mean Squares) d'un signal s(t) est défini par : • Exemple Soit un signal sinusoïdal de période To tel que : . La valeur moyenne du signal est nulle . La valeur efficace du signal est calculée à partir de : 1.1.4. Signaux retardés et avancés Soit le signal s(t) causal, représenté ci- contre, s(t) =0 lorsque t < 0 Le signal s(t) retardé de t0, représenté ci-contre, est noté par convention s(t - t0) Le signal s(t) avancé de t0, représenté ci-contre, est noté par convention s(t + t0) 1.2. Puissance et énergie des signaux à temps continu 1.2.1. Cas d'une résistance : rappels Toute transmission d'informations est liée à une transmission d'énergie et de puissance. Ces notions sont donc très importante et peuvent servir à caractériser les signaux. La puissance électrique instantanée fournie à une résistance R (ou conductance G = 1/R) est définie comme le produit des valeurs instantanées de la tension u(t) à ses bornes et du courant i(t) qui la traverse : L'énergie dissipée sur un intervalle [t1, t2] avec t1 < t2 est l'intégrale de cette puissance instantanée et se mesure en Joules (J) : La puissance moyenne calculée sur l'intervalle [t1, t2] , notée P(t1, t2) mesurée en Watts (W) s'exprime par : 1.2.2. Définitions - Classification Par extension et en considérant une résistance R égale à 1 Ω, l'énergie calculée sur un intervalle [t1, t2] d'un signal s(t) à valeur réelle ou complexe est définie par : La puissance moyenne calculée sur [t1, t2] d'un signal s(t) est définie par : En considérant un intervalle s'étendant sur tout l'axe réel, on définit l'énergie totale d'un signal s(t) par : On peut noter que dans le cas d'un signal périodique, l'énergie totale est infinie. La puissance moyenne totale d'un signal s(t) en distinguant le cas d'un signal périodique ou non s'exprime par : Remarque : PS = S2 eff , c'est par définition le carré de sa valeur efficace. Exemple : Reprenons le cas du signal sinusoïdal considéré dans le paragraphe précédent. Traçons l'évolution temporelle du signal |s(t)|2. L'énergie totale du signal correspond à l'aire grisée (infinie ici si l'on considère tout l'axe des temps) alors que la puissance totale du signal peut être considérée comme la répartition moyenne de l'énergie sur une période du signal. Par la suite, la dénomination d'énergie ou de puissance d'un signal sans autre précision supposera que l'on considère l'énergie ou la puissance totale du signal, sinon on indiquera l'intervalle de temps considéré. Les notions d'énergie et de puissance permettent de proposer une autre classification des signaux à temps continu en fonction de leur caractéristique énergétique. On distingue plus particulièrement deux catégories de signaux appelés: • signaux à énergie finie qui satisfont à : • signaux à énergie infinie mais à puissance moyenne finie (non nulle) qui satisfont à : Classification des signaux en fonction de leur caractéristique énergétique La première catégorie de signaux comprend tous les signaux transitoires alors que la deuxième catégorie englobe les signaux permanents comme les signaux périodiques ou les signaux aléatoires permanents. Dans la réalité physique, les signaux observés sont évidemment d'énergie finie, toutefois les signaux à puissance moyenne finie sont intéressants afin de représenter certains comportements permanents des systèmes physiques. Il est ainsi raisonnable de modéliser les signaux électriques issus d'un générateur de fonctions comme des signaux périodiques et la tension électrique observée aux bornes d'une prise de courant comme un signal sinusoïdal éternel, c'est à dire qui n'a ni début ni fin. 1.2.3. Remarques • La fonction |s(t)|2 représente la répartition (la distribution) de l'énergie du signal en fonction du temps. La puissance moyenne sur l'intervalle [0, T] notée PS(T) représente la répartition moyenne de l'énergie sur l'intervalle d'observation T. • Dans le cas où le signal est représenté par une fonction réelle de la variable réelle t, les définitions de l'énergie et de puissance du signal pourraient être données en remplaçant |s(t)|2 par s2(t). La notation |s(t)|2 (ou encore s(t)s*(t) dans laquelle s*(t) est la quantité complexe conjuguée de s(t)) est cependant plus générale et permet de considérer le cas où le signal est représenté par une fonction complexe de la variable réelle t. 1.3. Signaux à temps continu particuliers 1.3.1. Rampe unitaire 1.3.2. Echelon unité ( ou de Heaviside ) L'échelon unité est défini par : La valeur à l'origine (t = 0) est ici choisie égale à 1 mais ce choix est arbitraire. Elle est parfois fixée à 0,5. Ce signal particulier présente donc un saut (une discontinuité) pour t = 0. Il demeure cependant dans notre terminologie un signal à temps continu. L'échelon unitaire peut être utilisé pour rendre compte de la causalité. Pour tout signal x(t) quelconque, le signal y(t) = x(t) Γ(t) est causal (nul pour t < 0). Ce signal est utilisé couramment en analyse des systèmes (réponse indicielle). 1.3.3. Fonction signe La fonction signe est définie telle que : La valeur à l'origine (t = 0) est arbitraire, située entre 1 et -1. Par convention et sauf cas particulier et par souci de symétrie, on supposera que cette valeur est nulle. 1.3.4. Fonction porte ou fenêtre rectangulaire Ce signal est souvent utilisé pour exprimer qu'un signal x(t) est observé sur un horizon fini de durée T. On dira ainsi que l'on va appliquer un fenêtrage rectangulaire sur x(t) pour obtenir xT(t) = x(t) rectT (t). La fenêtre rectangulaire peut être définie à partir de l'échelon unitaire : Ce signal est très utilisé en traitement du signal, notamment au travers des notions de filtrage, de fenêtrage, d'échantillonnage,… 1.3.5. Fenêtre triangulaire ( ou de Barlett ) La fenêtre triangulaire peut être définie à partir de la rampe 1.3.6. Impulsion de Dirac Considérons la fenêtre rectangulaire représentée ci-dessous. L'aire est égale à 1. Une manière pratique de définir l'impulsion de Dirac est de considérer la limite de cette fenêtre rectangulaire lorsque T tend vers 0. On peut noter que l'intégrale ne signifie plus rien au sens habituel du calcul intégral ordinaire (au sens de Riemann) puisque comme on le verra plus loin δ(t) n'est pas une fonction. C'est un " être " à valeur infinie en uploads/Marketing/ cours-tds.pdf