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Trigonométrie 10ème Page 1 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique TRIGON

Trigonométrie 10ème Page 1 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique TRIGONOMÉTRIE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I – Construction d’angles : (manipulations du matériel de géométrie) 1°) Activité : a) Construisez un triangle ABC rectangle en A à l’aide de la règle et l’équerre b) Construisez un triangle EFG isocèle à l’aide de la règle et le compas c) Construisez un triangle EFG isocèle à l’aide de la règle et le rapporteur d) Construisez un triangle IJK équilatéral à l’aide de la règle et le compas e) Construisez un triangle IJK équilatéral à l’aide de la règle et le rapporteur Réponses : a) Règle et Équerre b) Règle et Compas c) Règle et rapporteur d) Règle et compas e) Règle et rapporteur Trigonométrie 10ème Page 2 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique 2°) Remarque : Dans un triangle la somme des angles intérieurs est égale à 180° II – Les Rapports Trigonométriques : Activité : a) Construisez un triangle ABC rectangle en A tel que : l’angle A B C ˆ = θ b) Déterminer les rapports trigonométriques θ θ θ θ g tg cot ; ; cos ; sin Réponses : III– Cercle trigonométrique et Unités de mesures d’angles : 1°) Définition du cercle trigonométrique : Soit le repère orthonormé (O, A, B) du plan. On appelle cercle trigonométrique, le cercle de centre O et de rayon R = 1. Soit M(x ;y) un point du cercle trigonométrique. ⇔ = = r x et r y θ θ cos sin ) ; ( ) sin ; cos ( cos sin 1 cos sin y x M donc x et y alors r Puisque r x et r y = = = = × = × = θ θ θ θ θ θ θ A(1;0) M(x ;y) r B(0;1) B’(0;–1) A’(–1;0) x y BC AC e hypothénus à opposé côté = = θ θ sin AB AC à adjacent côté à opposé côté tg = = θ θ θ Remarques : θ θ θ θ θ θ θ tg g et tg 1 sin cos cot cos sin = = = AC AB à opposé côté à adjacent côté g = = θ θ θ cot BC AB e hypothénus à adjacent côté = = θ θ cos θ ˆ A C B Trigonométrie 10ème Page 3 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique 2°) Unités de mesures d’un angle : La grandeur d’un angle est mesurée en degrés ; radians ; et grades. 1° = 60’ et 1’ = 60’’ . . 360° = 2π rd = 400 grs ; 180° = π rd = 200 grs ; 90° = 2 π rd = 100 grs . Exemple: Convertissez 120° en radians puis en grades. Table des valeurs de quelques Angles remarquables : Angles 0° 0 rd 30° 6 π rd 45° 4 π rd 60° 3 π rd 90° 2 π rd 120° 3 2π rd 135° 4 3π rd 150° 6 5π rd 180° π rd Sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 Cos 1 2 3 2 2 2 1 0 – 2 1 – 2 2 – 2 3 –1 tan 0 3 3 1 3 – 3 –1 – 3 3 0 cotg 3 1 3 3 0 – 3 3 –1 – 3 Remarque : 1 sin 1 ; 1 cos 1 , ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∈ ∀ x x IR x . IV- Identités Trigonométriques : 1°) Relation Fondamentale de la trigonométrie: Activité : a) Construisez un triangle ABC rectangle en A tel que A B C ˆ = α b) Appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle ABC c) Déterminez les rapports sinα et cosα d) Exprimez la relation du théorème de Pythagore en fonction de sinα et cosα. Trigonométrie 10ème Page 4 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Réponses : a) b) D’après le théorème de Pythagore 2 2 2 BC AC AB = + c) BC AC = α sin ; BC AB = α cos d) On sait que 2 2 2 BC AC AB = + en divisant chaque terme par 2 BC on a : 1 2 2 2 2 = + BC AC BC AB ⇔ 1 2 2 =       +       BC AC BC AB ⇔ 1 sin cos 2 2 = + α α . cos2α +sin2α = 1 (Relation fondamentale de la trigonométrie) 2°) Autres Relations : Nous savons que ∈ ∀x ℝ 1 cos sin 2 2 = + x x . • Si cosx ≠0 en divisant par cos2x, x tg x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 cos 1 cos sin cos cos + = ⇔ = + . D’où : x x tg 2 2 cos 1 1 = + . • Si sinx ≠0 en divisant par sin2x, x g x x x x x x a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot 1 sin 1 sin 1 sin sin sin cos 1 cos sin + = ⇔ = + ⇔ = + D’où : . x x g 2 2 sin 1 cot 1 = + . Trigonométrie 10ème Page 5 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique 3°) Angles supplémentaires : (π – a) et ( a) – Deux angles sont dits supplémentaires si leur somme est égale à π radian ou 180°. Activité : Citez en degrés puis en radians trois exemples d’angles supplémentaires. – Deux angles s supplémentaires ont même sinus et de cosinus opposés. 4°) Angles complémentaires : (π/2 – a) et ( a) – Deux angles sont dits complémentaires si leur somme est égale à 2 π radian ou 90°. Activité : Citez en degrés puis en radians trois exemples d’angles complémentaires. – Deux angles sont complémentaires si le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre. Remarque : a a a a IR a sin 2 cos ; cos 2 sin , − =       + =       + ∈ ∀ π π M et M’ sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice. Sin( 2 π – a) = cos(a) Cos( 2 π – a) = sin(a) Tg( 2 π – a) = cotg(a) M cosa O A B A’ B’ x x ’ y y ’ a M’ sina π -a cos( 2 π –a) sin( 2 π –a) x cos(π – a) = – cos(a) sin(π – a) = sin(a) tg(π – a) = – tg(a) M cos(a) sin(a) O A B A’ B’ x ’ y y ’ a M’ – cos(a) π – a Trigonométrie 10ème Page 6 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique V- Détermination de rapports trigonométriques : 1°) Si le rapport est un nombre entier de degrés : Une simple lecture de la table trigonométrique ou l’utilisation de la calculatrice nous permet de déterminer sa valeur. Activité 1 : A l’aide de la table trigonométrique et la calculatrice déterminez : sin28° ; cos 43° ; cos 87° ; sin 73° ; tg66° Réponses: sin 28° = 0,4695 ; cos 43° = 0,7314 ; cos 87° = 0,0523 ; sin 73° = 0,9563 tg66° = 2,2460. 2°) Si le rapport n’est pas un nombre entier de degrés : On procède à une interpolation linéaire. Activité 2 : A l’aide de la table trigonométrique ou la calculatrice Déterminez Sin26°35’ Réponses: On remarque que le rapport ne figure pas sur la table trigonométrique. ° ≤ ° ≤ ° = ° = °    27 sin ' 35 26 sin 26 sin 4540 , 0 27 sin 4384 , 0 26 sin . La différence 0,4540 – 0,4384 = 0,0156 est appelée la différence Tabulaire (D.T) ; Une augmentation de l’angle de 1° = 60’ correspond à une augmentation du sinus de la différence tabulaire. 0091 , 0 60 0156 , 0 35 ? ' 35 0156 , 0 ' 60 1 = × = ⇒    = → → = ° x x . Donc sin26°35’ = 0,4384 + 0,0091 = 0,4475 Activité 3 : Calculez cos72°14’ 0166 , 0 2924 , 0 3090 , 0 2924 , 0 73 cos 3090 , 0 72 cos = − = = ° = °    DT . Une augmentation de l’angle de 1° correspond à une diminution du cosinus de la différence tabulaire D.T = 0,0166. 0038 , 0 60 0166 , 0 14 ? ' 14 0166 , 0 ' 60 1 = × = ⇒    = → → = ° x x . D’où cos72°14’ = 0,3090 – 0,0038 = 0,3052 . Trigonométrie 10ème Page 7 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique 3°) Détermination d’un angle en degrés, uploads/Marketing/ trigo-2.pdf