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Cours de mathématiques (MPSI) Arnaud Girand 21 mars 2022 Ce document est placé

Cours de mathématiques (MPSI) Arnaud Girand 21 mars 2022 Ce document est placé sous licence CC BY-NC-SA 4.0. Table des matières Premier semestre 9 I Logique 9 1.− Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.− Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.− Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.− Méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II Ensembles 19 1.− C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.− Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.− Ensemble des entiers naturels, récurrence(s) . . . . . . . . . . . . . . 24 III Techniques de calcul algébrique 29 1.− Sommes, produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.− Résolution de "petits" systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 35 IV Rappels et compléments d’analyse 39 1.− Fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.− Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.− Logarithmes, exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.− Trigonométrie(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.− Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 V Applications, relations 63 1.− Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.− Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.− Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 VI Nombres réels 77 1.− Le corps R des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.− Bornes supérieure, inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.− Quelques résultats de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.− Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 VII Nombres complexes 89 1.− Le corps C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.− Trigonométrie, le retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.− Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.− Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 VIII Suites numériques 111 3 MPSI Corot TABLE DES MATIÈRES 1.− Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.− Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.− Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.− Suites à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.− Zoologie des suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.− Retour sur la topologie du corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . 128 IX Groupes, anneaux et corps 131 0.− Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1.− Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.− Anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 X Limites, continuité 145 1.− Étude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.− Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.− Brêve extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . 158 XI Entiers relatifs, arithmétique 159 1.− Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 2.− PGCD, algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.− Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.− Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.− Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 XII Dérivation 175 1.− Notion de dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2.− Accroissements ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.− Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4.− Brêve extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . 194 XIII Matrices, systèmes linéaires 195 1.− Généralités uploads/Philosophie/ 0-main.pdf