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Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2018/2019 Cours de mathématiques Partie I – L

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2018/2019 Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 29 août 2019 Table des matières 1 Logique et raisonnements 7 I Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.1 Formule propositionnelles, prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.2 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.3 Négations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II Raisonnements, et principes de rédaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.1 Composition d’un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.3 Le Modus ponens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.4 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.5 Disjonction des cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.6 Analyse-Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 II.8 Principe de la descente inﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Ensembles 21 I Théorie intuitive des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 I.1 Déﬁnition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 I.2 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 I.3 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.4 Union et intersection d’une famille de sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 I.5 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I.6 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I.7 Fonction caractéristique (ou indicatrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II Paradoxes ensemblistes et axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.1 La crise des fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.2 Tentatives d’axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Applications 37 I Qu’est-ce qu’une application ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 IV Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 IV.1 Ensembles ﬁnis et cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 IV.2 Règles de calcul sur les cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 Table des matières IV.3 Comparaison des cardinaux en cas d’injectivité et surjectivité . . . . . . . . . . . . 51 IV.4 Introduction à la dénombrabilité (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 Sommes 55 I Manipulation des signes P et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 I.1 Déﬁnition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 I.2 Changements d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I.3 Additivité par rapport aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 I.4 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 I.5 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 I.6 Cas des produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 I.7 Sommes multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ mathematiques-mpsi-1-alain-troesch.pdf