Morphologie mathématique Erosions et Dilations Luc Brun (d’apr` es le cours de

Morphologie mathématique Erosions et Dilations Luc Brun (d’apr` es le cours de M. Coster) Morphologie math´ ematique – p.1/65 Plan (1/2) Élément Structurant Définition, Exemple, Transposé Érosions et dilatations ensemblistes Transformation en tout ou rien L’érosion L’érosion exemples Transformation bi colorée Érosion et soustraction de Minkowski Dilatation Dilatation : Exemples Dilatation et addition de Minkowski Propriétés de l’érosion et la dilatation ensemblistes. Dualité, Extensivité Croissance, Composition Union, Intersection Composition Continuité supérieure de l’érosion Calculs de Distances Distance d’un point à un ensemble, Distance et courone, Distance par érosion : Algorithme Exemples Distance Externe Extension à la distance de deux ensemb Morphologie math´ ematique – p.2/65 Plan (2/2) Érosion et dilatation de fonctions Nature de l’élément structurant, Exemple d’élément structurant, Erosion d’une fonction Érosion avec élément structurant volumique Exemples d’érosion Dilatation d’une fonction Dilatation avec élément structurant volumique Exemple de dilatation Résidus morphologiques Gradients morphologiques Gradients morphologiques ensemblistes Gradient morphologique interne fonctionnel Gradient morphologique externe fonctionnel Gradient morphologique symétrique fonctionnel Laplacien Morphologique Laplacien Morphologique : Exemple Morphologie math´ ematique – p.3/65 L’idée de la morphologie mathématique Rappel : L’idée de base de la morphologie mathématique est de comparer l’ ensemble à analyser avec un ensemble de géométrie connue appelé élément structurant. Morphologie math´ ematique – p.4/65 Élément structurant : Définition Un élément structurant est un ensemble qui possède les caractéristiques suivantes : Il possède une forme (géométrie connue), Cette forme à une taille  , Cet élément est repéré par son origine  . L’origine  appartient généralement à l’élément structurant mais ce n’est pas une obligation. Morphologie math´ ematique – p.5/65 Élément structurant : Exemples Carré Cercle Segment Paire de points Morphologie math´ ematique – p.6/65 Élément structurant transposé Définition : Le transposé d’un élément structurant (noté  ou  ) est l’élement structurant symétrique de par rapport à l’origine  . Morphologie math´ ematique – p.7/65 Érosions et dilatations ensemblistes Élément Structurant p. 5 Définition, Exemple, Transposé Érosions et dilatations ensemblistes Transformation en tout ou rien L’érosion L’érosion exemples Transformation bi colorée Érosion et soustraction de Minkowski Dilatation Dilatation : Exemples Dilatation et addition de Minkowski Propriétés de l’érosion et la dilatation ensemblistes. Dualité, Extensivité Croissance, Composition Union, Intersection Composition Continuité supérieure de l’érosion Calculs de Distances Distance d’un point à un ensemble, Distance et courone, Distance par érosion : Algorithme Exemples Distance Externe Extension à la distance de deux ensemb Morphologie math´ ematique – p.8/65 Transformations en tout ou rien Une transformation en tout ou rien de  par dans  ,est définie en déplaçant sur l’ensemble des points   . Pour chaque position, on pose une question relative à l’union, l’intersection ou l’inclusion de B avec X . Chaque réponse positive fournit un nouvel ensemble qui donne l’image transformée. Les transformations en tout ou rien les plus simples sont : L’érosion qui est une transformation, en tout ou rien, relative à l’inclusion. La dilatation qui est relative à un test d’intersection. Il existe des transformations en tout ou rien plus complexes utilisant des éléments structurants bi-colorés. x3 x2 x1 r Morphologie math´ ematique – p.9/65 L’érosion Définition : L’élément structurant B, repéré par son centre, est déplacé pour occuper successivement toutes les positions de l’espace E. Pour chaque position, on pose la question : B est-il complètement inclus dans X ? Les réponses positives forment l ensemble érodé.           reponse positive reponse negative Morphologie math´ ematique – p.10/65 Erosion : Exemple (1)  (rayon 3)   ( + ) et   ( )   Propriétés qualitative La taille des objets décroît Un objet avec des concavités ou des trous peut être divisés en plusieurs Les petits objets et les détails disparaissent Morphologie math´ ematique – p.11/65 Erosion : Exemple (2)   (rayon 5)   ( + ) et   ( )   Morphologie math´ ematique – p.12/65 Érosion avec des éléments de taille croissante            Morphologie math´ ematique – p.13/65 Érosion et élements structurants Quid de   ? B Erosion avec différents éléments Morphologie math´ ematique – p.14/65 Transformation bi colorée (Hit-and-Miss ) L’élément structurant est décomposé en deux ensembles correspondant à deux labels :    . On dira que  appartient à la Hit and Miss transformé de  par ssi :      et     Une transformation bi-coloré peut s’exprimer comme l’intersection de deux érosions sur  et   .    "! #    $ #  &% '    Morphologie math´ ematique – p.15/65 Illustration  ( ( (  (  ( ) *,+.- / 0,1 / 2 3 3 *4+.5 / 2 3 6 + / 2 3 Morphologie math´ ematique – p.16/65 Exemple d’applications Détecteurs de coins ( (    ( ( (  (   (    ( (   (  ( ( bas gauche bas droite haut droite haut gauche Morphologie math´ ematique – p.17/65 Érosion et soustraction de Minkowski L’érosion ensembliste est identique à la soustraction de Minkowski par l’élément transposé.    87   9 :  ; 9 Démonstration : Soit < 9 :  ; 9 ...(a faire) Morphologie math´ ematique – p.18/65 Dilatation morphologique pour les ensembles La dilatation est une transformation en tout ou rien basée sur l’intersection. Définition : L’élément structurant B, repéré par son centre, est déplacé pour occuper successivement toutes les positions de l’espace E. Pour chaque position, on pose la question : B intersecte t’ il X ? Les réponses positives forment l’ensemble dilaté. =        %  >  ?  reponse negative reponse positive Morphologie math´ ematique – p.19/65 Dilatation : Exemple (1)  (rayon 3)  =   ( + ) et  ( ) =   Propriétés qualitative La taille des objets augmente Les trous et les concavités peuvent être bouchés Les objets voisins peuvent se connecter Des petits détails disparaissent Morphologie math´ ematique – p.20/65 Dilatation : Exemple (2)   (rayon 5)  =   ( + ) et  ( ) =   Morphologie math´ ematique – p.21/65 Dilatation avec des éléments de taille croissante   =    =    =     Morphologie math´ ematique – p.22/65 Dilatation et addition de Minkowski L’addition ensembliste est identique à l’addition de Minkowski par l’élément transposé. =    8@   9 :  ; 9 Démonstration : Soit < 9 :  ; 9 ...(a faire) Morphologie math´ ematique – p.23/65 Propriétés de l’érosion et la dilatation ensemblistes Élément Structurant p. 5 Définition, Exemple, Transposé Érosions et dilatations ensemblistes Transformation en tout ou rien L’érosion L’érosion exemples Transformation bi colorée Érosion et soustraction de Minkowski Dilatation Dilatation : Exemples Dilatation et addition de Minkowski Propriétés de l’érosion et la dilatation ense Dualité, Extensivité Croissance, Composition Union, Intersection Composition Continuité supérieure de l’érosion Calculs de Distances Distance d’un point à un ensemble, Distance et courone, Distance par érosion : Algorithme Exemples Distance Externe Extension à la distance de deux ensemb Morphologie math´ ematique – p.24/65 Dualité Les 2 transformations ne sont pas indépendantes. On obtient le même résultat en érodant X ou en dilatant le complémentaire de X et en prenant le complémentaire du résultat. On dit que L’érosion et la dilatation sont 2 opérations duales vis-à-vis de la complémentation : A     = A     =          =        Morphologie math´ ematique – p.25/65 Extensivité La dilatation est une transformation extensive alors que l’érosion est anti extensive.      =      B   BDC =    BDC + Morphologie math´ ematique – p.26/65 Croissance La dilatation et l’érosion sont des opérateurs croissants   E F =    = E    E F    E  L’érosion est décroissante par rapport à l’élément structurant.  G F A H    A    =   =  Morphologie math´ ematique – p.27/65 Composition La dilatation avec un élément structurant de taille n est égale à n dilatations avec un élément structurant de taille 1 (idem pour l érosion) =JI    =  (LK K K ( =  M NO P I QSR T.U   V homothétie de d’un facteur V . W Utile pour l’implémentation hardware lorsque la taille du voisinage est fixe (processeur voisinage 3*3) : un plus grand voisinage peut être obtenu par cascade des opérations Morphologie math´ ematique – p.28/65 Union, Intersection La dilatation commute avec l’union : =  E   =   = E  L’érosion commute avec l’intersection :  uploads/Philosophie/ 05-erosion-dilatation-pdf.pdf

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