Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Morphologie mathématique Squelette, squelette par zone d inﬂuence et ligne de p

Morphologie mathématique Squelette, squelette par zone d inﬂuence et ligne de partage des eaux Luc Brun (d’apr` es le cours de M. Coster) Morphologie math´ ematique – p.1/50 Plan Squelette (SK) Déﬁnitions propriétés Le squelette et les transformations morphologiques de base Conﬁgurations de voisinage et les éléments structurants bi-colorés, les transformations en tout ou rien Amincissement et épaississement, squelette et amincissement homotopique, Points particuliers du squelette La bissectrice conditionnelle Squelette par zone d’inﬂuence (SKIZ) Segmentation par ligne de partage des eaux (LPE) Approche par écoulement, LPE 1D par inondation, LPE 2D par inondation, Techniques de Marquage Swamping Dynamique des bassins LPE hiérarchique Waterfall Dynamique des contours Morphologie math´ ematique – p.2/50 Le squelette Boule maximale : Une boule B(x, ρ) est maximale dans X s’il n’existe pas B′(x′, ρ′) tel que B(x, ρ) ⊂B′(x′, ρ′) ⊂X x x’ Squelette : Le squelette Sk (X) est l’union des centres des disques maximaux B contenus dans X. En pratique les disques maximaux touchent ∂X en au moins 2 points. : ∂X : Sk(X) x y r(y) Morphologie math´ ematique – p.3/50 Propriétés du squelette Dans l’espace continu : Le squelette n’est pas une transformation croissante Le squelette n’est pas une transformation continue (Le squelette est très sensible au bruit) Le squelette est une transformation homotopique et idempotente Discontinuité de la squelettisation Homotopie Morphologie math´ ematique – p.4/50 Squelette et transformations morphologiques de Algorithme de Lantuéjoul : Le squelette est l’union (pour tout les λ > 0) de l’intersection (pour tout les µ > 0) de la différence entre l’érosion de X par λB, et de l’érosion de X par λB ouverte par µB. Sk(X) = [ λ \ µ EλB(X) −γµB(EλB(X)) + + : X + : EλB(X) : γµB(EλB(X)) : EλB(X) −γµB(EλB(X)) Morphologie math´ ematique – p.5/50 Squelettes et résidus Squelette par ouverture (de Lantuéjoul) Sk(X) = [ i EiB(X) −γ1B(EiB(X)) Érodés ultimes : Sk(X) = [ i Ui(X) = [ i EiB(X) −γRec(E(i+1)B(X) : EiB(X)) Bissectrice conditionnelle : B(X) = [ i Bi(X) = [ i EiB(X) −δnB(E(i+1)B(X) : EiB(X)) Morphologie math´ ematique – p.6/50 Squelette par Ouverture : Illustration erosion ouverture residus Morphologie math´ ematique – p.7/50 Érosion Ultime : Illustration erosion ultime erosion erosion erosion ouverture par reconstruction Morphologie math´ ematique – p.8/50 Bissectrice conditionnelle Remarque : La bissectrice conditionnelle à un comportement intermédiaire entre l’ensemble des érodés ultimes et le squelette par ouverture. Elle dépend d’un paramètre n lié à la variation de taille des disques maximaux inscrits. Morphologie math´ ematique – p.9/50 Squelettes et Résidus : Récapitulatif Sk(X) = [ i F i 1(X) −F i 2(X) Résidus F1 F2 Squelette par ouverture érosion ouverture unitaire Résidus ultimes érosion ouverture par reconstruction Bissectrice érosion ouverture géodésique Morphologie math´ ematique – p.10/50 Propriétés de la squelettisation Dans le cas numérique, L’intersection des ouvertures par µB est remplacée par une ouverture avec 1B, le squelette par ouverture n’est pas connexe. La topologie (homotopie) n’est pas préservée. ⇒Le squelette homotopique est obtenu par amincissement Formes Squelette par ouverture Morphologie math´ ematique – p.11/50 Amincissements et épaississement Les amincissements et épaississement sont obtenus comme résidu de transformations bi-colorées. Amincissement : L’amincissement de l’ensemble X consiste à enlever les points qui correspondent à une conﬁguration donnée. C’est le résidu morphologique entre l’image initiale et la transformation en tout ou rien correspondant à cette conﬁguration. θT(X) = X −ηT(X) Épaississement : L’épaississement d’un ensemble X consiste à ajouter les points correspondant à une conﬁguration donnée. ξT(X) = X ∪ηT(X) Morphologie math´ ematique – p.12/50 Exemple T = • ◦ ◦ ◦ • • ◦ • ◦ ηB(X) θB(X) Morphologie math´ ematique – p.13/50 Exemple de séquence d’amincissement θT (θT (X)) θT (θT (θT (X))) θT (X) r´ esultat stable Morphologie math´ ematique – p.14/50 Amincissements et épaississements homotopiques Déﬁnition : Un amincissement (épaississement) homotopique conserve la topologie de l’ensemble de départ. Règles de construction des éléments bicolorés Le pixel central est à 1 (amincissement) ou 0 (épaississement) L’inversion de la couleur du point central ne doit pas modiﬁer la topologie associée • ◦ • • • • • • ◦ inversion − → • ◦ • • • • • • ◦ • ◦ • • • • ◦ • ◦ inversion − → • ◦ • • ◦ • Transformation homotopique Transformation non homotopique Morphologie math´ ematique – p.15/50 Squelettes par amincissements Déﬁnition : Le squelette par amincissement utilise une famille d’éléments structurants qui préservent l’homotopie (M, L ou D). La famille est obtenue par rotation de la conﬁguration L, M ou D. L’amincissement s’arrête lorsqu’il n’y a plus de modiﬁcation des pixels de l’image. SkL(X) = (θL(X))∞= (X −ηL(X))∞ Aﬁn d’amincir dans toutes les directions il nous faut une famille d’éléments structurants se déduisant les un des autres par rotations. Pour une maille carré on obtient 8 éléments avec une rotation de π 4. Pour une maille triangulaire on a 6 éléments avec une rotation de π 3. Morphologie math´ ematique – p.16/50 Exemple avec l’élément L en 8 connexité On a 8 éléments L1, . . . , L8 θ1L(X) = θL8(. . . θL3(θL2(θL1(X)))) • • • ◦ • ◦ • • • ◦ • • • • • • • ◦ • ◦ • • • • • ◦ • • • ◦ • • • ◦ • • L1 L2 L3 L4 • • • ◦ • ◦ • • • ◦ • • • • • • • ◦ • ◦ • • • • • ◦ • • • ◦ • • • ◦ • • L5 L6 L7 L8 Morphologie math´ ematique – p.17/50 Différentes familles d’éléments structurants (1/2) En 6 connexité Famille Amincissement L • • ◦ • ◦ • • Squelette homotopique L : Lskel M • ◦ • • • • ◦ Squelette homotopique M : Mskel D ◦ • • • • ◦ • Squelette homotopique D : Dskel E ◦ ◦ • • • • • Ébarbage Morphologie math´ ematique – p.18/50 Différentes familles d’éléments structurants (2/2) En 8 connexité Famille Amincissement L • • • ◦ • ◦ • • • Squelette homotopique L : Lskel M • • ◦ ◦ • • • • • Squelette homotopique M : Mskel E ◦ • ◦ • • • • • • Ébarbage Morphologie math´ ematique – p.19/50 Exemples en 6 connexité Lsk(X) Msk(X) Dsk(X) Lsk(X) Ébardé par E. Morphologie math´ ematique – p.20/50 Exemples en 8 connexité Lsk(X) Msk(X) Lsk(X) ébardé par E. Morphologie math´ ematique – p.21/50 Points particuliers Les points particuliers d’un squelette sont les points ayant moins ou plus de deux voisins. Les points extêmes (arité 1), Les points multiples (arité ≥3) • Point extrême • Point multiple Morphologie math´ ematique – p.22/50 Détection des points particuliers En maille triangulaire Famille Points particuliers E ◦ ◦ • • • • • Points extrêmes F • • • • • • • Points triples F’ • • • • • • • Points triples Morphologie math´ ematique – p.23/50 Détection des points particuliers En maille 8 connexe Famille Points particuliers E ◦ • ◦ • • • • • • Points extrêmes F • ◦ • • • • • • • Points multiples F’ ◦ • ◦ • • • ◦ • ◦ Points multiples F” ◦ • ◦ • • • ◦ • ◦ Points multiples Morphologie math´ ematique – p.24/50 Squelette par zone d’inﬂuence (SKIZ) Squelette (SK) Déﬁnitions propriétés Le squelette et les transformations morphologiques de base Conﬁgurations de voisinage et les éléments structurants bi-colorés, les transformations en tout ou rien Amincissement et épaississement, squelette et amincissement homotopique, Points particuliers du squelette La bissectrice conditionnelle Squelette par zone d’inﬂuence Approche par écoulement, LPE 1D par inondation, LPE 2D par inondation, Techniques de Marquage Swamping Dynamique des bassins LPE hiérarchique Waterfall Dynamique des contours Morphologie math´ ematique – p.25/50 Squelette par zone d’inﬂuence (SKIZ) Soit un ensemble X composé d’objets disjoints. A chaque objet Xi on peut associer une zone d’inﬂuence Yi , telle que chaque point y de Yi est plus proche de Xi que de tout autre objet Xj (i ̸= j). Yi = {y | ∀j ̸= i , d(y, Xi) < d(y, Xj)} Le squelette par zone d’inﬂuence (ou SKIZ) de X, noté Skiz(X), est par déﬁnition le complément de l’union de tout les Yi (zones d inﬂuence) ; Skiz(X) = CE( [ i Yi) Morphologie math´ ematique – p.26/50 Propriétés du SKIZ Le squelette par zone d’inﬂuence (SKIZ) partage l’espace en autant de parties qu’il y a de composantes connexes. Le SKIZ n’est pas une transformation homotopique. En effet, la zone d’inﬂuence d’un objet est une composante simplement connexe que l’objet soit sans trou ou avec trou. Le SKIZ n’est pas une transformation croissante. Le SKIZ est une transformation anti-extensive par rapport à CE(X). Le SKIZ est une transformation semi-continue supérieure. La transformation est nettement plus stable que la squelettisation. Morphologie math´ ematique – p.27/50 Calcul du SKIZ Dans le cas numérique, le SKIZ est obtenu à partir uploads/Philosophie/ 08-skiz-lpe.pdf