Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Logique prédicative (version chantier) Marc SAGE avril 2015 Table des matières

Logique prédicative (version chantier) Marc SAGE avril 2015 Table des matières 1 Logique prédicative (ou calcul des prédicats) 2 1.1 Langage : symboles d’objet (singulier, générique et invocable), de composition et de relation . . . 3 1.2 Formules & énoncés : relation entre termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Quanti…cation, symboles d’objet génériques libres, formules closes, prédicats, conventions . . . . 5 1.4 Invocation : « …xer une variable » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Axiomes de la logique prédicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Règles de la logique prédicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7 Preuves, h-théorème de la déduction, ajout de symboles d’objet singulier . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8 Théorie, schéma d’axiomes, théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.9 Égalité, indistinguabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.10 Contradictions, (in)consistance, indécidabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.11 Complétude (syntaxique), existence explicite, rajout de symbole d’objet singulier . . . . . . . . . 12 2 Sémantique des énoncés prédicatifs 13 2.1 Structures et modèles : interprétation du langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Cohérence & complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Compacité1 et entiers non standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Incomplétude (et récursivité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Le problème de l’objet / la réalité mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Logiques d’ordre supérieur 17 3.1 Langages et énoncés d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Pouvoir et limites du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Logique séquentielle 19 5 Logique prop & préd à la fois 19 6 Exos 20 6.1 Sur trois règles de la logique prédicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Ajout de symbole d’objet singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.3 l’indistingabilité est une relations d’équivalence compatibible avec les lois et relations . . . . . . . 20 6.4 Variations sur l’indistingabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.5 Cohérence de la logique prédicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.6 la logique prédicative n’exprime pas la …nitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1En topologie, ce terme est associé de près à la …nitude. 1 Ce cours vise à décrire la logique des prédicats, dont l’énoncé des axiomes présuppose la logique des propo- sitions. 1 Logique prédicative (ou calcul des prédicats) Rq Russell (Introduction to Mathematical Philosophy) : (172) The proposition « Socrates is a man » is no doubt equivalent to « Socrates is human », but it is not the very same proposition. The is of « Socrates is human » expresses the relation of subject and predicate ; the is of « Socrates is a man » expresses identity. It is a disgrace to the human race that it has chosen to employ the same word « is » for these two entirely di¤erent ideas – a disgrace which a symbolic language of course remedies. Frege en dit pas mal aussi :-) cf. TLF un attribut : Tout caractère en tant qu’il est a¢rmé (ou nié) d’un sujet EG : tuquoise, mortel, petit... un prédicat : Qualité, propriété en tant qu’elle est a¢rmée ou niée d’un sujet. EG : être homme, satisfaire le thérème de complétude, marcher sur trois membres, chaque attribut "A" donne lieu au prédicat "posséder l’attribut A" chaque prédicat "P" donne lieu à l’attribut "véri…ant le prédicat P" l’attribution : Action d’attribuer quelque chose (à qqn) et résultat de cette action. la prédication : Action, fait d’a¢rmer ou de nier un prédicat d’un sujet (6=prédiction !) d’où les jugements prédicatif et attributif On retiendra l’intérêt des prédicats : : POssibilité de dire si le sujet se soumet ou non à une condition prédicat singulaire, binaire, tertiaire, quaternaire... prédicat monadique, dyadique, triadique, tétradique... Alain Michel, thèses d’exitence et travail mathématique (dirigé par M. Serfait, De la méthode) Comme l’a expliqué le premier Frege, du moins avec autant de clarté, dire qu’un certains être (par exemple Dieu) existe, c’est moins dire qu’un objet (à savoir Dieu), qu’il existe – ici, c’est seulement le langage qui nous trombe –, que dire d’un concept, donc d’un prédicat (être Dieu), qu’il est pas vide, et qu’il est rempli par au moins un individu : qu’un individu au moins tombe sous le concept de Dieu, et donc que le nombre appartient au concept en question. Ainsi, comme le nombre, l’existence est un concept de second ordre, qui ne peut se dire d’un objet ou d’un individu, mais seulement d’un concept. (Gilles Dowek, Les métamorphoses du calcul, p. 119-120) La dernière étape pour réconcilier les mathématiques constructives et non constructives consistait à proposer une variante de la logique des prédicats qui comprenne deux locutions « il existe » et des règles de déduction qui expriment la signi…cation de ces deux locutions. Une telle logique a été proposée par Gödel, en 1933, sous le nom de « traduction négative ». Les détails de cette logique sont moins importants que le fait qu’elle montre que les mathématiques constructives et non constructives peuvent coexister paci…quement, contrairement à ce que pensaient aussi bien Brouwer que Hilbert. Albert Lautman (le congrès international de philosophie des sciences (du 15 au 23 septmebre 1935) ce scandale logique qu’est le double sens du verbe être en grec, qui sert à la fois à lier l’attribut au sujet et à a¢rmer l’existnece substantielle de ce même sujet 2 1.1 Langage : symboles d’objet (singulier, générique et invocable), de composition et de relation On se donne un h-nombre arbitrairmet grand de symboles dits « d’objets » (anciennement symbole de variables, même si uploads/Philosophie/ 3-log-pred.pdf