Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Volume 10 • Été-automne 2015 Rubrique des Mais qu’est-ce que j’ai fait ? La lum

Volume 10 • Été-automne 2015 Rubrique des Mais qu’est-ce que j’ai fait ? La lumière : un éclairage moderne Autresarticles • Construire un cadran solaire • Géométrie intégrale • La rhétorique mathématique d’Archimède : où priment les canons de rigueur • Karl Weierstrass Rédacteur en chef André Ross Professeur de mathématiques Comité éditorial Pietro-Luciano Buono Professeur de mathématiques University of Ontario Institute of Technology France Caron Professeure de didactique des mathématiques Université de Montréal Philippe Etchécopar Professeur de mathématiques Cégep de Rimouski Christian Genest Professeur de statistique Université McGill Frédéric Gourdeau Professeur de mathématiques Université Laval Bernard R. Hodgson Professeur de mathématiques Université Laval Stéphane Laplante Enseignant de mathématiques Collège de Montréal Christiane Rousseau Professeure de mathématiques Université de Montréal Production et Iconographie Alexandra Haedrich Institut des sciences mathématiques Conception graphique Pierre Lavallée Néograf Design inc. Illustrations de scientifiques et caricatures Alain Ross Noémie Ross Illustrations mathématiques André Ross Révision linguistique Robert Wilson Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Institut des sciences mathématiques Université du Québec à Montréal Case postale 8888, succ. Centre-ville Montréal (Québec) H3C 3P8 Canada redaction@accromath.ca www.accromath.ca ISSN 1911-0189 Dans ce numéro... Dans ce deuxième numéro de l’Année internationale de la lumière, nous vous présentons d’abord deux articles sous le thème Mathématiques et lumière. La lumière : un éclairage moderne présente un résumé de l’évolution des théories de la lumière, du XVIIe siècle à nos jours. L’ombre projetée par la lumière du Soleil au cours de la journée a longtemps été la seule façon de connaître l’heure. Cependant, pour Construire un cadran solaire, il ne suffit pas de planter un bâton dans le sol. Christiane Rousseau nous présente toutes les sophistications nécessaires pour calculer l’heure officielle après lecture de notre cadran solaire. Sous le thème Géométrie et probabilités, Christiane Rousseau et Guillaume Roy-Fortin signent conjointement un article intitulé Géométrie intégrale. Si vous échappez un spaghetti non cuit sur la table, quelle est la probabilité qu’il intersecte le napperon cental ? Un autre problème célèbre de géométrie intégrale est le problème de l’aiguille de Buffon. L’article vous présentera les méthodes très élégantes de ce domaine à cheval sur la géométrie et les probabilités. Archimède était à la fois ingénieur et mathématicien. Il est parvenu à certains de ses résultats par une approche qu’il qualifie de « mécanique ». Cependant, il les présente ensuite par la géométrie, car une investigation par la mécanique était vue par Archimède comme « exclusive d’une démonstration ». Sous le thème Histoire des mathématiques, Marie Beaulieu et Bernard R. Hodgson nous décrivent le souci du Syracusain de présenter ses résultats en tenant compte des exigences de rigueur de son époque dans La rhétorique mathématique d’Archimède : où priment les canons de rigueur. Le 31 octobre 1815 naissait le mathématicien allemand Karl Weierstrass dont les travaux sont à l’origine du mouvement de renouveau des fondements du calcul infinitésimal appelé « arithmétisation de l’analyse ». Ce mouvement a eu pour effet de remplacer les fondements géométriques de l’analyse par des fondements arithmétiques et algébriques. Dans Portrait d’un mathéma- ticien, nous vous présentons quelques éléments de la vie et de l’œuvre de ce mathématicien. Dans la rubrique des paradoxes, Jean-Paul Delahaye nous présente Mais qu’est-ce que j’ai fait ? Des manipulations algébriques usuelles, que l’on applique en toute confiance, donnent un résultat erroné. Cherchez l’erreur ! Bonne lecture! André Ross Éditori l 1 Vol. 10 • été – automne 2015 Volume 10 • Été-Automne 2015 2 14 Sommaire DossierMathématiques et lumière La lumière : un éclairage moderne 2 André Ross Construire un cadran solaire 8 Christiane Rousseau DossierGéométrie et probabilités Géométrie intégrale 14 Christiane Rousseau et Guillaume Roy-Fortin DossierHistoire des mathématiques La rhétorique mathématique d’Archimède : où priment les canons de rigueur 20 Marie Beaulieu et Bernard R. Hodgson DossierPortrait d’un mathématicien Karl Weierstrass 26 André Ross Rubrique des Paradoxes Mais qu’est-ce que j’ai fait ? 30 Jean-Paul Delahaye Solution du paradoxe précédent 31 Jean-Paul Delahaye Section problèmes 32 20 30 2 Vol. 10 • été – automne 2015 DossierLumière La compréhension d’un phénomène est indissociable de la construction d’images mentales qui aident à réfléchir et à structurer les connaissances. Cette construction d’images se fait principalement par analogie avec des phénomènes déjà expliqués et bien compris. Quelle analogie retenir pour décrire la lumière, onde ou corpuscule ? Dans la théorie corpusculaire de la lumière élaborée par Isaac Newton (1643-1727), il est facile de raisonner par analogie. Les cor- puscules de lumière sont de petites billes, microscopiques, qui se déplacent en ligne droite, comme tout projectile. Quelques ombres au tableau : si la lumière est consti- tuée de particules, le contour de l’ombre d’un objet devrait être une ligne clairement défi- nie alors qu’en réalité ce contour est flou. Les défenseurs de la théorie corpusculaire ont alors supposé que la trajectoire de la corpus- cule était déviée au voisinage de l’objet par une force répulsive exercée par celui-ci. Une autre conséquence troublante de cette théorie est que, pour expliquer la réfraction, la lumière doit se propager plus rapidement dans un milieu plus dense, c’est-à-dire plus rapidement dans le verre que dans l’air et plus rapidement dans l’eau que dans l’air, par exemple. Théorie ondulatoire Dans la théorie ondulatoire de la lumière développée par Christiaan Huygens (1629-1695), la lumière est une onde. On peut se construire une image mentale par analogie à la propagation d’une onde à la surface de l’eau, à la différence que l’onde lumineuse, comme l’onde sonore, se propage dans toutes les directions, pas seulement dans un plan. Le front d’une onde lumineuse est donc sphérique. Cependant, pour expliquer les phénomènes avec cette théorie, il faut considérer que chaque point d’un front d’onde se comporte comme une nouvelle source de lumière. Cette représentation n’est pas intuitivement évidente. Il y a d’autres considérations qui rendent cette théorie difficile à accepter. À l’époque de Huygens, elle nécessite beaucoup de manipulations géométriques pour décrire et prévoir le comportement de la lumière. L’algèbre et l’analyse infinitésimale ne sont pas encore suffisamment développées pour décrire efficacement les concepts de la théorie ondulatoire. De plus, on sait, depuis les travaux de Robert Boyle (1627-1691), que le son ne se transmet pas dans le vide. Comment une onde lumineuse pourrait-elle se propager dans le vide ? Les défenseurs de la théorie ondulatoire ont fait l’hypothèse que pour se propager, l’onde lumineuse a besoin d’un support qui fut appelé éther1. La lumière : un éclairage moderne André Ross Professeur retraité Crédit : Davide Restivo, Aarau, Switzerland (Drops #1) [CC BY-SA 2.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0)], via Wikimedia Commons 1. Éther est le nom donné par Aristote à la substance incorruptible qui, dans sa théorie, remplissait l’espace supralunaire. Cette substance a également porté le nom de quintessence, ou cinquième élément, complétant la liste des quatre éléments d’Empédocle associés par Platon à quatre des corps réguliers. 3 Vol. 10 • été – automne 2015 La lumière : un éclairage moderne | André Ross • Professeur retraité L’existence d’un tel support était en accord avec la théorie de l’impossibilité du vide héri- tée d’Aristote (~384 à ~322). Cependant, les travaux d’Evangelista Torricelli (1608-1647), de Blaise Pascal (1623-1662) et de Robert Boyle ont clairement montré que le vide n’est pas impossible. Dans la théorie de Huygens, la réfraction est expliquée en supposant que la lumière voyage moins vite dans le verre que dans l’air. Cependant, Huygens ne disposait pas des outils mathématiques qui lui auraient permis de rendre cette théorie facilement accessible et entièrement convaincante. Le prestige de Newton a favorisé l’adoption de la théorie corpusculaire par la plupart des savants. Biréfringence dans un cristal Le phénomène appelé « biréfringence d’un cristal » a été observé en 1669 par le médecin danois Érasme Bartholin (1625-1698). Ayant ramené un prisme de calcite d’un voyage en Islande2, il remarque un phènomène étonnant. Le prisme a pour effet de dédoubler les images des objets sur lesquels on le pose. Ainsi, en posant le cristal sur une feuille de papier marquée d’un trait, celui-ci se dé- double. et on voit deux traits. Bartholin suppose que ce dédoublement des images résulte d’une double réfraction3. Un des rayons suit les lois habituelles de la 101°53’ L’image d’un trait vu au-travers d’un cristal de spath d’Islande est dédoublée. réfraction, il le nomme « rayon ordinaire » et l’autre se com- porte différemment, il le nomme « rayon extraordinaire ». Plus intriguant, en faisant tourner le cristal, l’image ex- traordinaire disparaît lorsque le trait tracé sur la feuille est orienté suivant la bissectrice des angles obtus du cristal. Mais, comment expliquer un tel comportement de la lumière ? Pour que l’image se dédouble, il faut qu’en traversant le cristal le rayon lumineux se dédouble en rayon ordinaire et en rayon extraordinaire, comme dans l’illustration de la marge de droite. Huygens s’attaque au problème et échafaude une explication basée sur le fait que la déviation du rayon extraordinaire présente les mêmes symétries que les faces naturelles de la cal- cite. Il suppose que le cristal est constitué de petites masses, des molécules, disposées symétriquement et invisibles à l’œil uploads/Philosophie/ accromath10-2.pdf