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Algèbre générale Jean-Romain Heu 2019 1 Introduction Ce polycopié contient les

Algèbre générale Jean-Romain Heu 2019 1 Introduction Ce polycopié contient les déﬁnitions et propriétés du cours d’algèbre. La plupart des exemples et démonstrations seront donnés en cours. L’ensemble des documents liés à ce cours sera disponible sur le site jeanromain.heu.free.fr. Des tests sur les diﬀérents chapitres seront accessibles sur Moodle : https ://moodle.insa-strasbourg.fr Les objectifs de ce cours sont les suivants. ⋆Acquérir les méthodes de raisonnement et la rigueur scientiﬁque. ⋆Maîtriser le langage mathématique et savoir rédiger une démonstration. ⋆Développer des capacités d’abstraction. ⋆Maîtriser un certain nombre d’outils mathématiques indispensables pour la suite des études. Aﬁn d’atteindre ces objectifs, il est absolument nécessaire d’apprendre le cours, d’en étudier les démonstrations et les exemples et de préparer les exercices avant d’aller en travaux dirigés. Le programme du cours est le suivant. 1. Logique, langage mathématique et raisonnements 2. Arithmétique 3. Ensembles et applications 4. Le corps des nombres complexes 5. Groupes, anneaux, corps 6. L’anneau des matrices Le cours d’algèbre du second semestre sera consacré aux espaces vectoriels, à l’algèbre linéaire et aux équations diﬀérentielles. 2 I. Logique, langage mathématique et raisonnement 1 Éléments de logique Une proposition logique est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité, soit « vrai » soit « faux ». Déﬁnition Exemples « 2 < 3 », « l’ensemble {3, a, 53} possède 7 éléments », « 49 est un nombre premier », « cos2(1) + sin2(1) = 1 », « π est un nombre entier » sont des propositions logiques. 1.1 Connecteurs logiques Les connecteurs logiques sont des opérations permettant de créer de nouvelles propo- sitions à partir de propositions existantes. La négation Soit P une proposition. La négation de P, ou « non P », notée ¬P est la proposition qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie. On peut décrire la proposition ¬P à l’aide d’une table de vérité : P ¬P V F F V La conjonction (et) La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition « P et Q » notée éga- lement P ∧Q qui est vraie si P et Q le sont et qui est fausse sinon. Sa table de vérité est P Q P et Q V V V V F F F V F F F F 3 La disjonction (ou) La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition « P ou Q » notée éga- lement P ∨Q qui est vraie si l’une au moins des deux propositions l’est et qui est fausse sinon. Sa table de vérité est P Q P ou Q V V V V F V F V V F F F L’implication Soient P et Q deux propositions. L’implication de P vers Q est la proposition (¬P) ou Q. On la note P = ⇒ Q et on la lit « P implique Q ». Sa table de vérité est P Q P = ⇒Q V V V V F F F V V F F V On appelle réciproque de l’implication P = ⇒Q, la proposition Q = ⇒P. Soient P, Q et R des propositions logiques. Alors la proposition [(P = ⇒Q) ∧(Q = ⇒R)] = ⇒[P = ⇒R] est une tautologie, i.e. une proposition de valeur de vérité toujours vraie. Autrement dit, si P = ⇒Q et Q = ⇒R sont vraies, alors P = ⇒R est vraie. On dit que l’implication est transitive. Propriété L’équivalence L’équivalence de deux propositions P et Q est la proposition (P = ⇒ Q et Q = ⇒ P). On la note P ⇔Q et on la lit « P équivaut à Q ». Sa table de vérité est P Q P ⇔Q V V V V F F F V F F F V 4 Exercice À l’aide de tous ces connecteurs logiques, on peut déﬁnir d’autres propo- sitions logiques. Soient par exemple deux propositions P et Q. Posons R la proposition (P ∧¬Q) = ⇒(¬Q = ⇒¬P). Calculer la table de vérité de R et reconnaître ainsi la proposition R. P Q ¬Q ¬P P ∧¬Q ¬Q = ⇒¬P R V V V F F V F F On dispose d’un certain nombre de règles permettant de simpliﬁer les propositions logiques. Nous noterons P ∼ = Q pour dire que les propositions P et Q ont la même table de vérité. Soient P et Q deux propositions logiques. ⋆¬(¬P) ∼ = P, P ∧P ∼ = P, P ∨P ∼ = P. ⋆(P = ⇒Q) ∼ = (¬Q = ⇒¬P). On dit que ¬Q = ⇒¬P est la contraposée de P = ⇒Q. ⋆Lois de Morgan : ¬(P ou Q) ∼ = (¬P et ¬Q) ¬(P et Q) ∼ = (¬P ou ¬Q). ⋆¬(P = ⇒Q) ∼ = (P et ¬Q). Propriété Exercice Simpliﬁer la proposition R en utilisant ces règles. ⋆Comprendre et interpréter les propositions déﬁnies à l’aide de connecteurs logiques. ⋆Être capable d’en déterminer la véracité. ⋆Ne pas confondre contraposée et réciproque. ⋆Savoir déﬁnir la négation d’une proposition. ⋆Connaître les règles de simpliﬁcation des propositions. À retenir 5 1.2 Quantiﬁcateurs On peut avoir besoin d’utiliser des propositions contenant une ou plusieurs variables. Une telle proposition logique est appelée prédicat. Exemples « Pour tout nombre entier relatif x, le nombre x2 est positif », « il existe un nombre entier relatif dont le carré vaut 4 » sont des prédicats. ⋆Le symbole ∀signiﬁe « pour tout ». Par exemple, le prédicat ci-dessus s’écrit : ∀x ∈Z, x2 ≥0. ⋆Le symbole ∃signiﬁe « il existe ». Le deuxième prédicat ci-dessus s’écrit : ∃x ∈Z, x2 = 4. ⋆Le symbole ∃! signiﬁe « il existe un unique ». Par exemple ∃!x ∈Z, x2 = 4 est un prédicat de valeur de vérité fausse, mais ∃!x ∈N, x2 = 4 est de valeur de vérité vraie. Symboles Remarques Les symboles ∀et ∃sont respectivement un A et un E retournés, initiales des mots allemands « Alle » (tous) et « Existieren ». Les variables apparaissant après ces symboles sont muettes, leurs écritures pourraient être remplacées par n’importe quels autres symboles : ∃x ∈N, x2 −5x + 6 = 0 et ∃y ∈N, y2 −5y + 6 = 0 sont deux écritures d’un même prédicat. Dans un prédicat faisant intervenir plusieurs variables, l’ordre des quantiﬁcateurs est impor- tant. On ne peut pas intervertir un ∀et un ∃. Par contre, on peut intervertir deux ∀ou deux ∃ successifs. Par exemple, ∀x ∈N, ∃y ∈Z, x + y = 0 et ∃y ∈Z, ∀x ∈N, x + y = 0 ne sont pas les mêmes prédicats. Il est important de noter que dans ce premier exemple, la variable y dépend de x (pour éviter les erreurs, on devrait la noter yx), ce qui n’est plus le cas dans le second exemple. Par contre, ∃x ∈Z, ∃y ∈R, x + y2 = 0 et ∃y ∈R, ∃x ∈Z, x + y2 = 0 représentent le même prédicat. Ici, on peut dire que y et x dépendent chacun l’un de l’autre. Cette proposition s’exprime en fait plus clairement sous la forme ∃(x, y) ∈Z × R, x + y2 = 0. Soit P(x) un prédicat dépendant d’une variable x. Alors ⋆¬(∀x, P(x)) ∼ = (∃x, ¬P(x)) ⋆¬(∃x, P(x)) ∼ = (∀x, ¬P(x)) Propriété 6 2 Axiomes Au XIXème siècle, les mathématiciens se sont retrouvés coincés face à un grand nombre de problèmes. L’une des raisons principales de leurs échecs est le fait que les mathéma- tiques ne reposaient alors pas sur des bases solides. Les objets et concepts étaient déﬁnis de manière imprécise alors que les problèmes mathématiques nécessitaient une rigueur plus grande qu’auparavant. Les mathématiciens ont donc commencé à s’intéresser à la structure de leur langage et ils ont choisi comme notion de base la notion d’ensemble. Ils ont ainsi construit de manière axiomatique la théorie des ensembles et toutes les autres théories mathématiques reposent sur le langage de la théorie des ensembles. Un axiome est une proposition logique à laquelle on attribue la valeur de vérité Vrai. Les valeurs de toutes les autres propositions logiques que l’on peut formuler doivent se déduire de ces axiomes. Un théorème est une proposition logique dont on a déduit des axiomes que sa valeur de vérité est vrai. Nous ne détaillerons pas l’axiomatique de la théorie des ensembles. Pour nous, un en- semble sera simplement une collection d’objets appelés éléments. Nous en reparlerons au chapitre 2. Donnons juste un exemple simpliﬁé d’une déﬁnition axiomatique : la déﬁnition de l’ensemble des entiers naturels. Il existe un ensemble N appelé ensemble des entiers naturels tel que ⋆N est non vide ; ⋆tout entier n admet un successeur noté s(n) ; ⋆deux entiers qui ont même successeur sont égaux ; ⋆il existe un entier, noté 0, qui n’est le successeur d’aucun entier ; ⋆toute partie A de N contenant 0 et stable par successeur (s(A) ⊂A) est égale à N. Déﬁnition de N À partir de ces axiomes, on peut déﬁnir naturellement une notion d’ordre sur N, une uploads/Philosophie/ algebre-1 2 .pdf