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Document créé le 29 octobre 2015 Lien vers la dernière mise à jour de ce docume

Document créé le 29 octobre 2015 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 1 Logique et ensembles Sommaire 1.1 Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Propositions, démonstrations, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Ensembles, éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Propriétés portant sur les éléments d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Opérations sur les propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.5 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.6 Quelques synonymies classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.7 Conditions nécessaires et/ou suﬃsantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Conseils appuyés pour bien rédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Quelques ﬁgures usuelles du raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 L’axiome de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6 Résolutions d’équations ou d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.7 Équations ou inéquations à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4 Produit cartésien d’un nombre ﬁni d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Applications entres ensembles non vides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Famille indexée par un ensemble non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Fonction indicatrice d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4 Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.5 Image directe d’une partie par une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.6 Image réciproque d’une partie par une application . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.7 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.1 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.2 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.3 Applications bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1 Rudiments de logique Chapitre 1 : Logique et ensembles 1.6 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.2 Propriétés éventuelles des relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.3 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.4 Relations d’équivalence, classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.5 Congruence modulo un réel strictement positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.6 Division euclidienne et congruence modulo un entier . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1 Rudiments de logique 1.1.1 Propositions, démonstrations, etc. Déﬁnition 1.1.1 Une proposition est un énoncé dont on doit pouvoir dire qu’il est « vrai » ou « faux ». On notera V et F (ou encore 1 et 0) les deux valeurs logiques possibles d’une proposition. Exemples : – « l’entier 2011 est premier » est une proposition vraie – « l’entier 2012 est premier » est une proposition fausse – « l’entier 2014 est une somme de deux carrés » est une proposition fausse (prouvez-le) – « l’entier 2017 est somme de deux carrés » est une proposition vraie (en eﬀet 2017 = 92 + 442) Déﬁnition 1.1.2 Certaines propositions sont déclarées vraies à priori : ce sont les axiomes. Sinon la véracité (ou la fausseté) d’une proposition doit résulter d’une démonstration (d’une preuve). Remarque : dans le cadre d’un cours de mathématiques, quand on énonce une proposition, c’est pour aﬃrmer qu’elle est vraie (et qu’on va la démontrer) ! Déﬁnition 1.1.3 Un théorème est une proposition vraie particulièrement importante. Un lemme est une proposition vraie, utile à la uploads/Philosophie/ cours-chap01.pdf