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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientiﬁque Université Abou Bekr Belkaid Tlemcen Faculté de Technologie Génie Productique Algèbre et Analyse Miri Soﬁane El-Hadi ii Génie Productique Faculté de Technologie BP 230 Tlemcen mirisoﬁane@yahoo.fr c ⃝MIRI.S "Seules les mathématiques peuvent purger l’intellect et préparer l’étudiant à acquérir tout savoir." Roger Bacon. Table des matières Introduction 1 I Algèbre 3 1 Théorie des Ensembles 5 1.1 Notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Quelques notions de la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Applications 17 2.1 Egalité de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Classiﬁcation des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Application composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Application réciproque ( inverse ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Image directe et image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Arithmétique dans Z 27 3.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Plus grand commun diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6 L’équation diophantienne ax + by = c . . . . . . . . . . . . . . . . 33 vi Table des matières 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Nombres Complexes 41 4.1 Opérations élémentaires dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . 43 4.3 Racines carrées et nieme d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . 45 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5 Calcul Matriciel 53 5.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Calcul de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6 Espaces Vectoriels 65 6.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 Base et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7 Applications Linéaires 75 7.1 Noyau et Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.2 Matrice associée à une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 76 7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II Analyse 83 8 Suites Numériques 85 8.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.3 Sous-suite (suite extraite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.4 Suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.6 Théorème d’encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 c ⃝MIRI.S Table des matières vii 8.7 Limites inﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.8 Limites fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9 Fonction Réelle d’une Variable Réelle Limites et Continuité 97 9.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.2 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.3 Déﬁnition équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.4 Limites inﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.6 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9.7 Fonction continue sur un intervelle fermé borné . . . . . . . . . . 104 9.8 Fonction continue strictement monotone . . . . . . . . . . . . . . 106 9.9 Exercices . . . . uploads/Philosophie/ notes-de-cours.pdf