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Fiche de lecture : La science et l’hypothèse pas Henri Poincarré Présentation d

Fiche de lecture : La science et l’hypothèse pas Henri Poincarré Présentation de l’auteur : Henri Poincarré est un mathématicien, et savant universitaire né en 1854 ayant reçu la formation de l’école Polytechnique et ayant été élut à l’académie des sciences à 33 ans, et publie en 1902 La Science et l’hypothèse, son premier livre de réflexion philosophique sur les sciences qui connut à la fois succès et critiques. Introduction : L’entrée en matière de Poincarré se fait par l’énonciation de l’établissement de la vérité scientifique et de sa perfection aux yeux d’observateurs superficiels n’ayant pas réfléchi à la manière dont on établit la vérité scientifique et qui tiennent la science pour un moyen de faire comprendre les lois de l’univers au seul moyen de la raison pure. Il établit bien sûr cette vision pour la démonter. Il mentionne alors que lorsqu’on s’y est plus penché, la science a semblé beaucoup se reposer sur l’hypothèse, et que la certitude scientifique a alors semblé vaciller. Il avance toutefois que plutôt que de tout croire ou de douter de tout, il convient d’analyser le rôle et la légitimité de l’hypothèse et de reconnaitre lorsqu’elle est féconde ou stérile. Pour cela il souhaite identifier la nature du raisonnement scientifique, s’il est déductif ou inductif, de chercher à savoir si la grandeur mathématique est une notion créée par l’homme et introduite dans la nature ou déjà présente dans celle-ci. Il va pour cela s’intéresser à différents champs des sciences, comme la mécanique, la géométrie et la physique. Chapitre 1 : Sur la nature du raisonnement mathématique. Dans ce chapitre, l’auteur se demande si le raisonnement en mathématique, science la plus pure et basée sur la raison, est réellement déductive dans son entièreté. Pour lui, aucun théorème ne serait nouveau si l’appareil syllogistique (les raisonnements de type : si A et B sont vrais, alors C est vrai) était la seule composition des mathématiques, pour découvrir de nouveaux théorèmes, on devrait introduire de nouveaux axiomes tirés des hypothèses humaines et non de la pure logique. Si c’était le cas, un esprit assez puissant pourrait d’un coup d’œil apercevoir toutes les lois mathématiques avec pour seule connaissance ses axiomes de base. Si l’on se refuse à cette vision il faut alors admettre que le raisonnement mathématique se distingue du syllogisme car il a une vertu créatrice. Il questionne alors la tentative de démonstration de Leibnitz pour prouver que 2+2=4 Elle se pose comme suit : (1) 1+1=2 (2) 2+1=3 (3) 3+1=4 Donc 2+2=(2+1)+1= (2+1)+1=3+1= 3+1=4 donc 2+2=4 Or si cette démonstration est indéniablement valide, elle ne fait que vérifier deux définitions déjà connues. La vérification diffère de la démonstration car elle est stérile et ne fais que traduire dans le même langage ce que l’on cherche à démontrer et constater l’égalité de la traduction. La science ne découle que de l’énonciation d’une loi générale. Pour passer d’une vérité précise à une loi générale, il faut avoir recours au raisonnement par récurrence, qui consiste à établir que si une propriété est vraie pour un nombre n, le nombre 0 et un nombre n+1, alors elle est vraie pour tous les nombres entiers. Ainsi on peut déduire d’un cas particulier une loi générale, ce raisonnement est donc fécond et permet les découvertes mathématiques. Pour parvenir à un théorème, on ne peut s’affranchir du raisonnement par récurrence, car si on testait les nombres uns par uns, quel que soit le nombre de fois où on répète l’opération on n’en testera jamais qu’un nombre fini et ne pourra déduire de vérité générale. Pour déduire un théorème on doit le prouver sur un nombre infini de cas, la notion d’infini mathématique est donc cruciale à son raisonnement. Cette méthode présente des analogies avec la méthode de l’induction qui déduit une loi générale d’une quantité limitée d’expériences, mais elle permet de prouver qu’un théorème est vrai pour une infinité d’itérations. On l’appelle donc aussi l’induction mathématique. Chapitre 2 : La grandeur mathématique et l’expérience : Poincarré s’intéresse ici à la notion de continu mathématique, qui consiste à considérer qu’un intervalle est divisible en un nombre infini de points dont les coordonnées sont des nombres incommensurables (dont la valeur ne peut être exprimée par une fraction car leurs décimales se poursuivent à l’infini comme Pi ou racine de deux). Grâce à cette notion, deux droites qui se croisent n’ont dans l’esprit du géomètre une partie commune qui correspond à un point, non pas à une surface due à la largeur des droites. Cela montre la possibilité de l’esprit de concevoir une droite comme une ligne entre deux points dont la largeur tendrait vers zéro de manière infinitésimale et incommensurable. Toutefois l’esprit ne se crée de telles notions purement analytiques et inexistantes dans la nature que si l’expérience lui fait comprendre qu’il en a besoin, sans quoi il s’exposerait à des contradictions. De plus, il est possible à l’esprit, par l’utilisation des règles de l’addition de classer entre elles les continus en décomposant leurs intervalles. Il est d’ailleurs possible de classer et de comparer les infiniment petits, et même imaginer un infiniment petit d’un infiniment petit et ce à l’infini. Toutefois si l’on a donné nom et symbole à l’infiniment petit de l’infiniment petit, on ne l’a pas fait pour les échelons d’infiniment petit qui le suivent, cela montre que l’on ne s’intéresse qu’aux parties des mathématiques utiles à l’expérience. Mais la notion de continu mathématique ne permet pas d’être complètement à l’abri de contradictions, par exemple, on pourrait penser que toute courbe a une droite tangente, qui la touche en un seul point encore une fois incommensurable, or il est possible que des courbes n’aient pas de tangente si elles même sont définies par des coordonnées incommensurables (la courbe et la droite tangente ne se toucheraient jamais car le calcul de leur point d’intersection utiliserait des nombre incommensurables et on diviserait alors l’espace indéfiniment sans trouver de point d’intersection). Poincarré termine le chapitre 2 en expliquant la notion de continu mathématique à plusieurs dimensions, c’est-à-dire un continu mathématique comportant des coupures qui sont elles mêmes des continus mathématiques, cette notion permet l’expression de théorèmes qui fonctionnent sans avoir besoin de mesures ou de valeur chiffrées et permet la comparaison de continus incommensurables. Il semblerait donc que ce concept ne soit que pure réflexion analytique. Toutefois même ce dernier n’est apparu que pour éviter des contradictions mathématiques mises en lumière par l’expérience. Cette notion de continu à plusieurs dimensions sera poursuivie dans la partie 2 sur l’espace qui est hors de notre programme. Conclusion : Les mathématiques, si elles semblent être des sciences purement analytiques, ne sont pas totalement libres de l’influence de l’expérience. On ne peut déduire et démontrer toutes leurs lois analytiquement car de tels raisonnements seraient stériles et ne feraient que tourner en rond en constatant l’égalité d’une formule avec sa simple traduction. Elles se libèrent toutefois de l’approximation de l’induction physique, car son induction, le raisonnement par récurrence, lui permet de prouver ses théorèmes sur un intervalle infini et non grâce un à un nombre fini d’expériences. Mais ces découvertes scientifiques permises par le raisonnement par récurrence nécessitent une hypothèse préalable, et donc est sujette à la limite de l’entendement humain, et dépend aussi de l’utilité qu’un théorème pourrait avoir pour l’expérience. Les concepts trop infimes ou abstraits ne sont pas explorés ou nommés car ils n’ont pas d’application physique. Les mathématiques ne sont donc pas aussi pures d’analyse qu’on le croit car influencées par l’’entendement humain, et donc dépendant de la culture scientifique du temps et de la précision des moyens d’expérimentation qui déterminera si un concept est digne d’intérêt. uploads/Philosophie/ fiche-lecture-poincarre-la-science-et-l-x27-hypothese.pdf