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Algèbre I L1 Physique, Mécanique, Physique-Chimie/Mathématiques Blouza Adel ade

Algèbre I L1 Physique, Mécanique, Physique-Chimie/Mathématiques Blouza Adel adel.blouza@univ-rouen.fr Septembre 2022 Chapitre 1 : Éléments de logique : Aristote, (-384, -322), disciple de Platon, est le premier philosophe grec à s’intéresser à la logique. D’après celui-ci, tout discours doit être fondé sur un mode de déductions sans failles, contrairement à la rhétorique, art du discours destiné à convaincre. On doit à Aristote : – La notion de proposition : énoncé abstrait sur lequel on ne fait aucune hypothèse sur la valeur de vérité. – Le principe du tiers-exclu : tout énoncé est soit vrai, soit faux. – Le syllogisme (raisonnement de trois propositions) dont le célèbre : “Tout homme est mortel ; Socrate est un homme ; donc Socrate est mortel.” Ou encore : “Les lilas fleurissent au printemps ; les lilas sont en fleurs ; donc, nous sommes au printemps.” – Les quantificateurs : – Universel : Pour tout élément x, noté x. ∀ – Existentiel : Il existe au moins un élément x, noté x. ∃ 1. Qu’est ce que la logique ? -La logique vient du grec “logos” qui signifie “parole, discours”, et par extension “rationalité”, la logique est donc la science de la raison. -Une théorie est un ensemble de définitions, d’axiomes, de théorèmes,... qui traite d’un sujet particulier. -Un Énoncé mathématique (ou simplement énoncé) est une phrase ayant un sens mathématique précis (mais qui peut être vrai ou faux) ; par exemple : (A) 4 = 2 + 2 (B) Pour tout nombre réel x on a x 2 < 0 (C) x 3 + x = 0 – Le premier est vrai, le second est faux, la véracité du troisième dépend de la valeur de la variable x. – Des phrases comme “les fraises sont des fruits délicieux”, “j’aime beaucoup les mathématiques” sont clairement subjectives. L’affirmation : “l’amiante est un cancérigène provoquant environ 3000 décès par an en France” n’est pas un énoncé mathématique, même si l’affirmation est exacte. -Une définition précise le sens mathématique d’un mot ; par exemple : Définition : Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui- même privé d’un élément. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. – On voit tout de suite deux difficultés avec cet exemple : d’abord il faut avoir défini “ensemble” et “être en bijection” pour que la définition ait un sens ; ensuite il n’est pas immédiat que la définition donnée coïncide avec l’idée intuitive que l’on a d’un ensemble fini. -Un axiome est une affirmation que l’on tient pour vraie. L’ensemble des axiomes d’une théorie s’appelle axiomatique. Les philosophes grecques avaient une définition quelque peu différente de l’axiome : un axiome est une vérité que l’on ne démontre pas car évidente en soi. -Comment quelque chose peut-il être “évident” ? -Pourquoi cet axiome est-il vrai ? -N’aurait-il pas pu être faux ? Euclide a énoncé cinq axiomes comme base de la géométrie : i) Par deux points, il passe une et une seule droite, ii) un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une droite, iii) Étant donné deux points quelconques A et B, un cercle peut être tracé en prenant A comme centre et passant par B, iv) tous les angles droits sont égaux entre eux, v) par un point extérieur à une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. Il semblait “évident” que le cinquième axiome d’Euclide est vrai alors que l’on peut très bien dire qu’il est faux et avoir toutefois une géométrie cohérente. Exemple : Géométrie hyperbolique : Il existe une infinité de droites qui, comme d1 ,d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la droite D. Morale de l’histoire : il n’existe aucune vérité évidente par elle-même en mathématique, un axiome n’est pas vrai parce qu’il est vrai mais vrai parce que l’on a décidé qu’il est vrai ! -Un théorème est un énoncé vrai qui est démontré à partir d’axiomes. Un théorème nécessite une démonstration. -Un lemme est un énoncé que l’on démontre conduisant à la démonstration d’un théorème plus important. -Une conjecture est une proposition mathématique que l’on suppose vraie mais sans avoir été démontrée. Une conjecture démontrée devient un théorème, -Un corollaire est une conséquence immédiate d’un théorème démontré. La logique mathématique a des applications dans la : -Conception de circuits électroniques. -Sémantique des langages de programmation. -Modélisation de problèmes. -Intelligence artificielle et systèmes experts. Calcul des propositions : Une proposition est un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté qu’il prend l’une des deux ”valeurs” : vrai ou faux, mais jamais les deux à la fois : c’est le principe du tiers exclu. La véracité ou la fausseté d’une proposition constitue sa valeur vérité : - v (ou 1) pour Vrai, - f (ou 0) pour Faux. Exemples : - ”Il pleut”. - ”Le nombre réel 4 est inférieur à −3”. - ”Dans le plan, la somme des angles d’un triangle est égale à π”. - (i = 1) et (j≠2). La logique n’a pas pour objectif de décider si une proposition est vraie ou fausse. Par contre, les valeurs de certaines propositions étant fixées, la logique permet de déterminer si une proposition est vraie ou fausse. Désormais les propositions sont notées par des lettres : p, q, r, · · · . Certaines propositions sont composées de propositions liées par diverses conjonctions. Les connecteurs logiques de base : Le tableau qui définit cette nouvelle proposition est une table de vérité. [des 3 connecteurs de base] -La négation de p est la proposition, notée ¬p, qui est vraie si p est fausse et fausse si p est vraie. -La disjonction de p et q est la proposition, notée p q, lue ”p ou (OR) ∨ q”, qui est vraie si p est vraie ou si q est vraie et fausse sinon. -La conjonction de p et q est la proposition, notée p q, lue ”p et (AND) ∧ q”, qui est vraie si p et q sont vraies simultanément et fausse sinon. Les tables de vérité de ces connecteurs sont : Remarques : Il ne faut pas donner au connecteur toutes les interprétations du ∧ ”et” dans le langage courant : -Le connecteur est commutatif, mais la phrase : ”Il se leva et partit” ne ∧ présente aucune idée de commutativité. -La phrase ”Je possède un pull bleu et rouge” est différente de ”Je possède un pull bleu et je possède un pull rouge”. La phrase ”X et Y ont un chien” est différente de ”X a un chien et Y a un chien”. Il ne faut pas donner au connecteur toutes les interprétations du ”ou” dans le ∨ langage courant : -La disjonction est inclusive, à la différence de la disjonction ∨ exclusive : soit ... soit ... ”La porte est ouverte ou fermée”, mais ne peut être les deux à la fois. -Il y a un connecteur pour la disjonction exclusive : !∨!. -La phrase ”La bourse ou la vie” n’a pas le sens du ”ou” inclusif mais doit être comprise comme ”Si tu ne me donnes pas ta bourse, je te prends la vie”. -Une tautologie est une proposition qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de vérité des propositions qui la compose, notée V. Une contradiction est une proposition qui est toujours fausse, notée F. Propriétés : -Commutativité : p q = q p ∧ ∧ p q = q p ∨ ∨ -Associativité : (p q) r = p (q r) ∧ ∧ ∧ ∧ (p q) r = p (q r) ∨ ∨ ∨ ∨ -Distributivité : p (q r) = (p q) (p r) ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ p (q r) = (p q) (p r) ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ -Éléments neutres : p V = p ∧ p F = p ∨ -Contradiction : p ¬p = F ∧ -Tiers exclu : p ¬p = V ∨ -Idempotence : p p = p ∧ p p = p ∨ -Absorption (1) : p F = F ∧ p V = V ∨ -Absorption (2) : p (p q) = p ∧ ∨ p (p q) = p ∨ ∧ -Loi De Morgan : ¬(p q) = ¬p ¬q ∧ ∨ ¬(p q) = ¬p ¬q ∨ ∧ -Involution : ¬¬p = p -L’implication de q par p, notée p q et lue ”p implique q” est la ⇒ proposition qui est fausse si p est vraie et q est fausse et vraie sinon. Exemple : On a p : (2=3) (proposition vraie) q : (4 = 5) (proposition fausse) car (2=3) (4=5). ⇒ On a maintenant q:(0=0) car (2=3) (0=0) ⇒ -L’équivalence de p et q, notée p ⇔ q et lue ”p équivalent à q” est la proposition qui est vraie si p et q ont même valeur de vérité et fausse sinon. Remarques : -Le connecteur n’est pas commutatif. ⇒ -Le connecteur n’est pas associatif. ⇒ -Le connecteur ⇔ est commutatif. -Le uploads/Philosophie/ algebre-i.pdf