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Analyse - Résumés et exercices Georges Skandalis Université Paris Diderot (Pari

Analyse - Résumés et exercices Georges Skandalis Université Paris Diderot (Paris 7) - IREM Préparation à l’Agrégation Interne 6 mars 2015 Table des matières 1 Suites de nombres réels 1 1.1 Développement décimal des nombres réels cf. [Per] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Cas des nombres rationnels cf. [Per] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Axiome de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Suites de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.1 Sur le développement décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.2 Autres suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Approximation 12 2.1 Rapidité de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Accélération de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Suites données par une formule de récurrence un+1 = f(un) . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Solution d’une équation g(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Topologie des espaces métriques 18 3.1 Déﬁnitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.1 Distances, espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.2 Exemples d’espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.3 Propriétés des distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.4 Notions topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.5 Propriétés métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.6 Comparaison de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.7 Produits ﬁnis d’espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Les grandes notions de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.1 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.2 Espaces métriques connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.3 Espaces métriques complets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.1 Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.2 Espaces métriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.4 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 i 4 Espaces vectoriels normés, espaces de Banach 26 4.1 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Espaces vectoriels normés de dimension ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5.1 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5.2 Applications linéaires continues et leurs normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.5.3 Utilisation de la compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5.4 Espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5.5 Un peu de Fourier... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ analyse-mathematique-complet.pdf