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Université Sidi Mohammed Ben Abdellah Faculté des Sciences Juridiques Économiqu

Université Sidi Mohammed Ben Abdellah Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales Fès Filière Sciences Économiques et Gestion Deuxième Semestre Algèbre Linéaire Chapitre 1. Espaces vectoriels Professeure : K. ELAMRI Année universitaire : 2019/2020 Sommaire Chapitre 1. Espaces Vectoriels (Cas pratique : Rn) 1 Notions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Structure de sous-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 4 Sous-espaces vectoriel engendré et systèmes générateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 5 Dépendance et indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 Rang des systèmes ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 Avant-propos L’Algèbre Linéaire, une fameuse branche des mathématiques, dont les applications dépassent le cadre mathématique et scientiﬁque (Physique, Chimie, Biologie, Informatique . . . ) et trouvent un grand intérêt auprès des domaines sociaux-économiques. En eﬀet souvent les modèles donnés en théorie comme en pratique économiques sont sous forme linéaire et une grande part des travaux et simulations économiques portent sur des tableaux de données s’appuyant sur le modèle linéaire et l’instrument du calcul matriciel. En semestre II de la ﬁlière Économie et Gestion, le programme porte sur des éléments assez restreints de l’Algèbre Linéaire mais qui englobe les concepts de base (espaces vectoriels, applications linéaires et matrices) nécessaires pour pouvoir, par la suite, traiter et résoudre plusieurs applications de type linéaire en l’occurrence la résolution des systèmes d’équations linéaires et la diagonalisation des matrices carrées. K. ELAMRI 2 Notions élémentaires Symboles et abréviations - ∀: quel que soit (ou pour tout) - ∃: il existe - ∈: appartient à, / ∈: n’appartient pas - ⊂: inclus dans, ⊆: inclus ou égal - ∩: intersection, ∪: réunion - = ⇒: implique (ou entraîne), ⇐ ⇒: équivalent à (ou si et seulement si ) - X : Sigma (symbole de sommation : n X i=0 xi = x0 + x1 + · · · + xn) - i.e : c’est-à-dire (c-à-d) - resp. : respectivement - N.B. : Notez Bien. Eléments de logique Assertion mathématique Une assertion mathématique (P) peut être vraie ou fausse. La négation de (P) est non (P) : non (P) est ( vraie si (P) est fausse fausse si (P) est vraie Connecteurs logiques et raisonnements ■Implication : (P) = ⇒(Q). Une implication est obtenue soit par démonstration directe soit par l’un des raison- nements suivants : Raisonnement par contrapposée. On suppose que non (Q) est vraie et on démontre que non (P) est vraie : non (Q) = ⇒non (P). Raisonnement par l’absurde. On suppose que (P) est vraie et (Q) est fausse et on montre que cela entraine une contradiction. ■Équivalence : (P) ⇐ ⇒(Q). Une équivalence est obtenue en montrant deux implications : une directe ((P) = ⇒(Q)) et une réciproque ((Q) = ⇒(P)). ■Raisonnement de récurrence. Il s’applique lorsque l’on veut démontrer une assertion mathématique qui est satis- faite pour tout entier nature n ∈N (ou ∀n ≥n0). 3 Algèbre Linéaire – K. Elamri - 4 - Le principe du raisonnement par récurrence consiste à vériﬁer d’abord que c’est vraie à l’ordre 0 (ou en général à l’ordre n0), puis à supposer que c’est vraie à l’ordre n et démontrer que ça reste aussi vraie à l’ordre n + 1. Ensemble et produit cartésien ■Ensemble. Un ensemble est une collection d’éléments. Exemples. 1. Ensembles numériques : N, Z, Q, R, C. 2. L’ensemble vide ∅(par convention c’est l’ensemble qui ne contient aucun élément). ■Produit cartésien de deux ensembles. Le produit cartésien de deux ensembles E et F est l’ensemble de couples (x, y) tels que x ∈E et y ∈F : E × F = {(x, y)/x ∈E et y ∈F}. Si E = F, on note E × E = E2 = {(x, y)/x ∈E et y ∈E}. Exemple. R2 = R × R. ■Produit cartésien de n ensembles. Le produit cartésien des ensembles E1, E2, . . . , En est l’ensemble de n-uplets (x1, x2, . . . , xn) tels que xi ∈Ei ∀i = 1, . . . , n : E1 × E2 × · · · × En = {(x1, x2, . . . , xn)/xi ∈Ei ∀i = 1, . . . , n}. ■Si E = E1 = E2 = · · · = En, on note : En = {(x1, x2, . . . , xn)/xi ∈E ∀i = 1, . . . , n}. Exemples. 1. Rn = R × R × · · · × R | {z } n fois . 2. R3 = R × R × R, R4 = R × R × R × R. (0, 0, 0) ∈R3, (6, 0, 3, −1) ∈R4. Chapitre 1 Espaces Vectoriels (Cas pratique : Rn) Prérequis et Objectifs Prérequis ■Quelques fondements de la théorie des ensembles. ■Outils et raisonnements de la logique mathématique. Objectifs ■Assimiler la structure des espaces vectoriels et des sous-espaces vectoriels ainsi que leurs propriétés fondamentales. ■Bien distinguer les notions de scalaires de celles de vecteurs (Lois de composition interne et externe). ■Comprendre et bien manipuler les principes de : ▶Indépendance et dépendance linéaire ; ▶Familles génératrices et sous-espaces vectoriels engendrés par une famille ﬁnie ; ▶Bases et dimensions des espaces vectoriels ; ▶Rang de familles ﬁnies de vecteurs. ■Exercer des applications dans le cas des espaces vectoriels de dimension ﬁnie Rn. 5 Algèbre Linéaire – K. Elamri - 6 - 1 Notions préliminaires Déﬁnition 1.1 (Loi de composition interne, Loi de composition externe). Soient E et K deux ensembles non vides. On dit que E est muni d’une loi de composition interne notée ∗si : x ∗y ∈E, ∀x, y ∈E. On dit que E est muni d’une loi de composition externe (avec K) notée ∗si : α ∗x ∈E, ∀x ∈E et ∀α ∈K. Exemples. Dans l’ensemble des nombres réels R, l’addition +, la soustraction −et la multiplication × sont des lois de composition internes. Déﬁnition 1.2 (Structure de groupe). Un ensemble E muni d’une loi de composition interne ∗est un groupe si : a. ∀x, y, z ∈E, x ∗(y ∗z) = (x ∗y) ∗z (on dit que la loi ∗est associative) ; b. ∃e ∈E tel que : x ∗e = e ∗x = x (e est appelé l’élément neutre de E pour la loi ∗) ; c. ∀x ∈E, ∃y ∈E tel que : x ∗y = y ∗x = e (y est appelé l’élément symétrique de x pour la loi ∗). Notation. On note (E, ∗) le groupe E muni de la loi ∗. Si en plus on a : x ∗y = y ∗x , ∀x, y ∈E, on dit que la loi ∗est commutative et (E, ∗) est un groupe commutatif. Remarques. 1. Le groupe (E, ∗) est non vide (il contient au moins l’élément neutre). 2. L’élément neutre et les éléments symétriques sont uniques. Déﬁnition 1.3 (Structure de corps). Un ensemble K muni de deux lois de composition internes notées respectivement + (l’addition) et • (la multiplication), est un corps si : a. (K, +) est un groupe commutatif (on note 0 son élément neutre et −x le symétrique de x) ; b. (K∗= K −{0}, •) est un groupe (on note uploads/Philosophie/ courspdf-chap1.pdf