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Probabilités et Statistiques Introduction : Les statistiques sont utilisées dan

Probabilités et Statistiques Introduction : Les statistiques sont utilisées dans beaucoup de domaines, aussi bien dans les diagnostics médicaux que dans le domaine des assurances, dans les prévisions météorologiques ou économiques (ex : économétrie). Dans le domaine des sciences sociales, le poids des maths n’a cessé de grandir et de nombreux choix politiques concernant les technologies ou bien l’économie sont fondés sur des analyses ayant pour base le calcul des probabilités. L’objectif sera de présenter les bases de la théorie de la probabilité et de définir les principaux outils de modélisation qui en découlent. Les préoccupations de modélisation des jeux de hasard sont fort anciennes, « hasard » signifiant jeux de dé en arabe. Au départ il s’agissait de quantifier et de prédire dans le but de gagner…. Pascal fut le premier à élaborer une théorie des jeux, qui a évolué pour devenir une théorie des probabilités. Ceux qu’ils l’ont fait évolué sont des auteurs comme : LAPLACE, GAUSS, POISSON au XVIIIe et BOREL, KOLMOGOROV au XXe siècle. De nos jours les outils très divers de la théorie des probas s’appliquent dans différents domaines, comme par exemple la Génétique (chaînes de MARKOV), l’Economie (mathématiques financières). La théorie des probabilités constitue un outil puissant de modélisation mathématique, un modèle s’applique sur le réel perçu, d’une part pour quantifier et d’autre part pour prédire. Dans le cas des probabilités la théorie vise à modéliser le hasard, c.-à-d. des phénomènes aléatoires ou imprévisibles. Il existe 2 manières de construire un modèle : - La manière inductive ; qui est fondée sur l’expérience passée sans en comprendre forcément les causes - La manière déductive ; elle est fondée sur l’analyse des causes physiques Dans le premier (manière inductive) cas les probabilités utilisent les statistiques pour déterminer les lois sous-jacentes. Ex : quelle est la probabilité que la première naissance en 2012 sur la commune de Strasbourg soit une fille. ( on sait par expérience que cette probabilité est très proche de 0,5, maison connaît très mal les causes de ce résultat, cela fait appel à un processus biologique très complexe) Dans le deuxième cas (manière déductive), le raisonnement déterministe nous dit que connaissant les conditions initiales on est capable de connaître les conditions finales. Il y a un bémol, c’est que la somme et la complexité d’enchaînement de phénomènes déterministes nous amène à entrevoir une modélisation qui peut être aléatoire. Exemple : si on lâche une pièce de monnaie de 1milimètre de hauteur puis de 10 mètres de hauteur. Dans le premier cas on peut prédire le résultat, sans risque de se tromper, alors que le second on va avoir plus de mal, alors que les lois physiques et mécaniques mises en cause sont connues et sont les mêmes. Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire I) Notions de dénombrements Pour une grande partie des calculs de probabilité discrète, on cherche à calculer le nombre d’événements réalisables, le nombre d’événements favorables, etc. D’où la nécessité d’utiliser des outils de dénombrement et d’analyse combinatoire. Dans tout ce paragraphe, E désigne ensemble à n éléments que l’on suppose distinguables. 1. Permutations On appelle permutation des n éléments de l’ensemble E toute disposition ordonnées de ces n éléments. Remarque : Deux permutations ne différent donc que par l’ordre des n éléments distinct qui la composent. Le nombre de permutations de n éléments est le nombre de manières possibles d’ordonner ces n éléments. Exemple : les permutations de l’ensemble (1,2,3) sont : (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2)(3,2,1) . Propositions : Le nombre de permutations à n éléments est n! (n factorielle) Démonstration : On démontre ce résultat par récurrence. Il y a 1! manières de permuter 1 élément. Supposons qu’il y en a (k−1)! pour la permutation de (k−1) éléments. Alors étant donné k éléments, on en choisit 1 parmi k , ce qui donne k possibilités, et il reste (k−1) éléments à ordonner, soit (k−1)! possibilités. Le total fait donc k(k−1)!=k! Par convention on pose 0!=1 Exemple : Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées), on tire les n boules l’une après l’autre (on s’intéresse à l’ordre), sans les remettre dans l’urne (on n’autorise pas de répétition). Le nombre de tirages possibles est le nombre de permutations de l’ensemble (1,2,..,n) , c'est à dire n! . 2. Arrangement sans répétition Définition : On appelle arrangement sans répétition de p éléments pris parmi les n éléments de E, toute disposition ordonnée de p éléments de E. Remarque : Un arrangement de n éléments pris parmi les n éléments d’un ensemble E est une permutation. Dans un arrangement on se contente de p éléments pris parmi les n, tel que p<n ( si égale on peut avoir une permutation) Exemple : Les arrangements à 2 éléments de l’ensemble (1,2,3) sont (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) Proposition : le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est An p= n! (n−p)!=n∗(n−1)∗...∗(n−p+1) Démonstration : il y a n façons de choisir le premier élément de l’arrangement parmi les n éléments de l’ensemble. Pour le deuxième élément de l’arrangement il y a (n−1) façons de le choisir, puisqu’il ne doit pas y avoir répétition d’un élément. En itérant on vérifie qu’il y a (n−p+1) façons de choisir le p ième élément de l’arrangement. Au total, le nombre d’arrangements est donc n(n−1)....(n−p+1) . Exemple : Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées) on tire les p boules l’une après l’autre (on s’intéresse à l’ordre), sans les remettre dans l’urne (on n’autorise pas de répétition). Le nombre de tirages possibles est le nombre d’arrangements sans répétition à p éléments de l’ensemble 1,2,...,n , c'est à dire An p A3 2=3∗2=6 n−p+1=3−2+1=2 3. Combinaison sans répétition Définition : On appelle combinaison sans répétition de p éléments pris parmi les n éléments d’un ensemble E toute disposition non ordonnée de p éléments de E. Remarque : Deux combinaisons ne diffèrent que par la nature des éléments qui la composent, l’ordre de ces éléments est indifférent. Exemple : Les combinaisons à deux éléments de l’ensemble 1,2,3 sont : 1,2,1,32,3 . (C’est le cas du loto par exemple, car l’ordre n’est pas important) Proposition : Le nombre de combinaisons sans répétition de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est Cn p= n! p!(n−p)! Démonstration : Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments pris parmi n éléments est An p= n! n−p = Pour une combinaison de p éléments donnés il y a p! arrangements différents de ces p éléments (correspondant au nombre de permutations des p éléments de la combinaison) est donc au final le nombre de combinaisons sans répétitions de p éléments pris parmi n éléments est donc An p p! = n! p!(n−p) Exemple : Dans une urne contenant n boules distinguables on tire p boules simultanément (donc sans ordre et sans répétition, le nombre de tirages possibles est le nombre de combinaison sans répétition à p éléments de l’ensemble 1,2,...,n , c'est à dire Cn p C3 2= 3 ! 2!(3−2!)=3∗2 2∗1=3 Proposition : On a les propriétés suivantes : • Cn p=Cn n−p n! p!(n−p)! ∀(n , p)∈N² • Cn p=C n−1 p−1+Cn−1 p ∀(n, p)∈N² Exemple : 7 salariés sont convoqués pour un contrôle médical 2 vont avoir un cardiogramme et les 5 autres font une prise de sang 1) De combien de façons peut-on choisir les deux personnes qui commenceront la visite par un électrocardiogramme ? 2) De combien de façons peut-on choisir les 5 personnes qui commenceront la visite par une prise sang ? Solution : Il y a C7 2 façons de choisir 2 parmi 7, C7 2= 7! 5!(7−5)!=7∗6 2! =21 = Exemple : L’un d’eux s’appelle JEAN De combien de façons peut-on constituer le groupe des 5 personnes qui commencent par la prise de sang si l’on impose ; a) Que Jean fasse partie du groupe b) Que Jean n’en fasse pas partie Réponse : a) Si Jean fait partie du groupe « prise de sang », il ne reste plus qu’à choisir 4 personnes parmi 6 ce qui donne possibilités, soit 15 groupes possibles b) Si Jean ne fait pas parti de ce groupe il faut choisir 5 salariés parmi 6 ce qui donne possibilités, soit 6 groupes possibles Constat : 15+6= 21. On retrouve le nombre total de groupes de 5 personnes choisies parmi 7 Proposition : Le triangle de PASCAL On appelle triangle de Pascal le tableau de nombres suivants : … … Grâce à et et 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Proposition : Formule du binôme de Newton Exemple : Exercice : E étant un ensemble fini de cardinal n déterminant le nombre de parties de E (de combinaison) sans oublier l’ensemble vide ( ) et E lui-même. Solution : L’ensemble de toutes les parties de E comprend : - L’ensemble vide 1 ( partie - Les parties de E à 1 éléments, il yen a uploads/Philosophie/ binder1-pdf.pdf