Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ce cours est en totalité rédigé par s Dr emene medjadj et dispensé par tonye pa

Ce cours est en totalité rédigé par s Dr emene medjadj et dispensé par tonye paul CHAPITRE 1 Introduction Ce document cours d’Algèbre 1 et II recouvre le programme d’algèbre linéaire de la première année universitaire. L’étudiant trouvera une partie cours qui a été enseigné et à la fin de chaque chapitre une partie exercices corrigés dont la plupart ont été proposé dans le cadre de travaux dirigés ou ont fait l’objet de contrôle des connaissances. Il est destiné principalement aux étudiants de la 1ère année L.M.D. ainsi que toute personne ayant besoin d’outils de bases d’Algèbre linéaire. Nous espérons que ce polycopié réponde aux attentes des étudiants et qu’il les aidera à réussir. Ce cours est en totalité rédigé par s Dr emene medjadj et dispensé par tonye paul CHAPITRE 2 ELEMENTS DE LOGIQUE ET METHODES DE RAISONNEMENT 1- Règles de logique formelle DEFINITION 1.1 une proposition est une expression mathématique à laquelle on peut attribuer la valeur de vérité vrai ou faux. Exemple 1.2 (1) « tout nombre premier est pair », cette proposition est fausse (2) 2 est un nombre irrationnel, cette proposition est vraie (3) 2 est inférieure à 4, cette proposition est vraie. Définition 1.3. Toute proposition démontrée vraie est appelée théorème (par exemple le théorème de PYTHAGORE, Thalès...) La négation « (non P) » « P » Définition 1.4. Soit P une proposition, la négation de P est une proposition désignant le contraire qu’on note (non P), ou bien P , on peut aussi trouver la notation ך P. Voici sa table de vérité Exemple 1.5 (1) soit E ≠ Ø, P : (a є E), alors P : (a Ɇ). (2) P : la fonction f est positive, alors ך P. ; la fonction f n’est pas positive. (3) : P : x +2 =0, alors (non P) : x+2 ≠ 0. 1.1 Les connecteurs logiques. Soit P, Q deux propositions 1) La conjonction « et », « Ʌ » Définition 1.6. La conjonction est le connecteur logique « et », « Ʌ », la proposition (P et Q) ou (PɅQ) est la conjonction deux propositions P, Q. - (P Ʌ Q) est vraie si P et Q sont toutes les deux. - (P Ʌ Q) est fausse dans les autres cas. On résume tout ça dans la table de vérité suivante P Q P Ʌ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 P P 1 0 0 1 Ce cours est en totalité rédigé par s Dr emene medjadj et dispensé par tonye paul Exemple 1.7 (1) 2 est un nombre pair et 3 et un nombre premier, cette proposition est vraie (2) 3≤ 2 et 4≥2 cette proposition est fausse 2) La disjonction « ou », « V » DEFINITION 1.8 la disjonction est un connecteur logique « ou », « V », on note la disjonction entre P, Q par (P ou Q), (P V Q). P V Q est fausse si P et Q sont fausses toutes les deux, sinon (P V Q) est vraie. On résume tout ça dans la table de vérité suivante. P Q P V Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemple 1.9 (1) 2 est un nombre pair ou 3 est un nombre premier. Vraie (2) 3 ≤2 ou 2 ≥4. Fausse 3) l’implication Définition 1.10 l’implication de deux propositions P, Q est notée : P=>Q on dit P implique Q ou bien si P alors Q. P =>Q est fausse si P est vraie et Q est fausse, sinon(P=>Q) est vraie dans les autres cas. P Q P=>Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Exemple 1.11 (1) 0 ≤ x ≤ 9 => x ≤3. Vraie (2) Il pleut, alors je prends mon parapluie. Vraie c’est une conséquence. (3) Paul a gagné au loto ⇒ Paul a joué axu loto. Vraie c’est une conséquence. 4) La réciproque de l’implication 1. RÉGLES DE LOGIQUE FORMELLE Ce cours est en totalité rédigé par s Dr emene medjadj et dispensé par tonye paul Définition 1.12. La réciproque d’une implication (P ⇒ Q) est une implication Q ⇒ P. Exemple 1.13. (1) La réciproque de : 0 ≤ x ≤ 9 ⇒ √x ≤ 3, est : √x ≤ 3⇒ 0 ≤ x ≤ 9. (2) La réciproque de : (Il pleut, alors je prends mon parapluie), est : (je prends mon parapluie, alors il pleut). (3) La réciproque de : (Paul a gagné au loto ⇒ Paul a joué au loto), est : (Paul a joué au loto⇒ Paul a gagné au loto). 5)La contraposée de l’implication Soit P, Q deux propositions, la contraposée de (P ⇒ Q) est ( Q ⇒ P ), on a (P ⇒ Q) ⇐⇒ ( Q ⇒ P ) Remarque 1.14. (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P ) ont la même table de vérité, i.e., la même valeur de vérité. Exemple 1.15. (1) La contraposée de :(Il pleut, alors je prends mon parapluie), est (je ne prends pas mon parapluie, alors il ne pleut pas). (2) La contraposée de :( Jean a gagné au loto ⇒ jean a joué au loto), est : (fortune n’a pas joué au loto ⇒ fortune n’a pas gagné au loto). 6)La négation d’une implication Théorème 1.16. Soit P, Q deux propositions on a Exemple 1.17. (1) La négation de : (il pleut, alors je prends mon parapluie), est : (il pleut et je ne prends pas mon parapluie). (2) La négation de : (alliance a gagné au loto ⇒ alliance a joué au loto), est : (alliance a gagné au loto et alliance n’a pas joué au loto). (3) (x ∈ [0, 1] ⇒ x ≥ 0) sa négation : (x ∈ [0, 1] ∧ x < 0). Conclusion (1) La négation de (P ⇒ Q) est (P ∧Q ). (2) La contraposée de (P ⇒ Q) est (Q ⇒P ). (3) La réciproque de (P ⇒ Q) est (Q ⇒ P). Remarque 1.18. (P ⇒ Q) ⇔ ( P ∨ Q). Preuve. Il suffit de montrer que (P ⇒ Q) a la même valeur de vérité que ( P ∨Q), on le voit bien dans la table de vérité suivante : Ce cours est en totalité rédigé par s Dr emene medjadj et dispensé par tonye paul P Q P P⇒Q P ∨Q 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 7)L’équivalence Définition 1.19. L’équivalence de deux propositions P, Q est notée P ⇔ Q, on peut aussi écrire (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P). On dit que P ⇔ Q si P et Q ont la même valeur de vérité, sinon (P ⇔ Q) est fausse. P Q P ⇔ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Exemple 1.21 (1) x+2 =0 ⇔ x= - 2 (2) Ornella a gagné au loto ⇎ Ornella a joué au loto. Théorème 1.22. Soit P, Q deux propositions on a : (P ⇔ Q) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P). Preuve 8)Propriétés des connecteurs logiques Quelle que soit la valeur de vérité des propositions P, Q, R les propriétés suivantes sont toujours vraies. (1) P ∨ P. (2) P ⇔ P. (3) P ∧ P ⇔ P. (4) P ∧ Q ⇔ Q ∧ P. Commutativité de ∧ (5) P ∨ Q ⇔ Q ∨ P. Commutativité de ∨ (6) ((P ∧ Q) ∧ R) ⇔ (P ∧ (Q ∧ R)). Associativité de ∧ (7) ((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R)). Associativité de ∨ Ce cours est en totalité rédigé par s Dr emene medjadj et dispensé par tonye paul (8) P ∨ P ⇔ P (9) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)). (10) P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)). (11) P ∧ (P ∨ Q) ⇔ P. (12) P ∨ (P ∧ Q) ⇔ P. (13) P Q  ⇔ p Q  Lois de Morgan (14) P Q  ⇔ p Q  Lois de Morgan (15) (P ⇒ Q) ⇔ ( p ∨ Q) ⇔ ( Q ⇒ P). PREUVE (13) P Q p Q P ∧ Q P Q  p Q  1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 (14) P Q p Q p ∨ Q P ⇒ Q Q ⇒p 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1.2. Les quantificateurs. (1) Quantificateur universel « ∀ » La relation pour tous x tel que P(x) est notée : ∀x, P(x) se lit quel que soit x, P(x). uploads/Philosophie/ cours-algebre-lineaire-chap1-2.pdf