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Du signal continu au numérique Échantillonnage Reconstruction quantification

Du signal continu au numérique Échantillonnage Reconstruction quantification 1 Numérisation du signal Introduction Recrudescence du traitement numérique. TV numérique, Enregistrement audio, vidéo téléphonie mobile. ... Processeurs de signaux. flexibilité. Rapidité. 2 Il est nécessaire de comprendre comment se fait le passage du monde analogique à celui du numérique. Pourquoi numériser? 3 Calculateur x(t) Systèmes continus - données discrètes - codage en mot binaire - support continu - amplitude continu Interprète Interprète Opérateur d'échantillonnage et de quantification Échantillonnage : prélèvement sur le signal continu des valeurs de s(t) à des instants tn données. Généralement, les tn sont régulièrement espacés. Ce sera le cas étudié ici Quantification : transformation des valeurs s(tn) en des mots "compréhensibles" par le calculateur. Numérisation 4 Acquisition Du signal analogique, continu dans le temps et continu en amplitude... ... à un signal définit ponctuellement et quantifié. Numérisation Échantillonnage x(t) {x(nT)} Quantification  x(nT) mq  Codage  i  i  5 f(t) mq Échantillonnage 6 Dans l'espace des temps le signal est remplacé par ces valeurs à des instants multiples entiers de la période d'échantillonnage Te. Échantillonnage idéal 7 Période d'échantillonnage T e Signal original x(t) Signal numérique xe(t)={x(nT e)} Échantillonneur Échantillonnage idéal : prélèvement pendant un temps infiniment court des valeurs de x(t) à t=nTe x(t) t t ) t ( Te  xe(t) t         n n e ) nTe t ( ) nTe ( x ) t ( x x Modélisation mathématique ) t t ( ). t ( x ) t t ( ). t ( x o o o      On a la propriété         n n e ) nTe t ( ). t ( x ) t ( x TF du signal échantillonné 8 Question : que devient le spectre du signal x(t) après échantillonnage idéal?                  n n e e ) nT t ( ) t ( x F ) t ( x F Or d'après le théorème de Plancherel, on a       ) t ( z F ) t ( y F ) t ( z ) t ( y F    Et                      n n e e n n e ) nF f ( F ) nT t ( F donc            n n e e ) nF f ( ) f ( X . Fe ) t ( x F Comme le produit de convolution est distributif, et que ) t t ( y ) t t ( ) t ( y o o            n e ) nFe f ( X . Fe ) f ( X Le spectre de Xe (f) est donc celui de X(f) "périodisé" avec une période fréquentielle Fe. TF du signal échantillonné 9 s t se t S f Se f Périodisation du spectre Interprétation du spectre de xe(t) 10 Soit x(t) un signal réel à spectre borné f |X(f)| Fmax -Fmax Si max F 2 Fe  Question : que devient le spectre Xe(f) en fonction de Fe? f |Xe(f)| 0 Fmax -Fmax 0 Fe -Fe f |Xe(f)| Fmax -Fmax 0 Fe -Fe Si max F 2 Fe  (version zoomée)       n e ) nFe f ( X . Fe ) f ( X Fe Fe n=0 n=1 n= -1 Les motifs élémentaires du signal périodiques sont disjoints Les motifs élémentaires du signal périodiques se recouvrent Repliement de spectres Théorème de Shannon 11 Question : quelle est la condition sur Fe pour que, à partir du signal échantillonné xe(t), on puisse reconstruire intégralement x(t)? Si max F 2 Fe  Le motif principal (n=0) est égale au spectre de x(t), et comme les autres motifs sont disjoints, grâce à un filtre passe-bas idéal,il est possible d'isoler ce motif et donc de retrouver x(t). Si max F 2 Fe  Le motif principal (n=0) est égale au spectre de x(t), mais, il est pollué par le recouvrement d'autres motifs. Il est impossible de retrouver le spectre de x(t). Énoncé du théorème Pour échantillonner un signal sans perte d'information, il faut que la fréquence d'échantillonnage Fe soit supérieure au double de la fréquence maximale du signal. Plus précisément, si on note Fmax la fréquence maximale du signal, il faut : max F 2 Fe  Exemples 12 ) t 2 sin( ) t ( x   Te= 0.2 s Te= 0.65 s Exemple 1 : Exemple 2 : Fe= ????; t= 0:1/Fe:2; x=sin(2*pi*440*t); sound(x,Fe); On échantillonne un "La" à une fréquence Fe donnée Cas des signaux à support fréquentiel non borné 13 Dans le cas des signaux à support fréquentiel infini, il est impossible de définir une notion de fréquence maximale. Solution Si on l'échantillonne à une cadence Fe , il y a toujours repliement de spectre. On va numériser un signal x1(t), qui sera le résultat d'un filtrage passe-bas idéal du signal x(t) à support fréquentiel infini. ) f ( ) f ( X ) f ( X Fe 1    On peut montrer que x1(t) est le signal, ayant un support fréquentiel entre [-Fe/2, Fe/2] qui se rapproche le mieux de x(t) au sens des moindres carrées. f |X(f)| Fe/2 -Fe/2 D'une manière général, afin de garantir la condition de Shannon, il faut utiliser un filtre passe-bas anti-repliement de fréquence de coupure inférieure à Fe/2. Échantillonnage 14 Exemple: acquisition d’un signal sonore Le son s(t) est supposé être composé de l’alternance de deux tonnalités placées à 1280 hz et 1620 hz; Application du théorème de Shanon: fe >3240 hz fréquence d’échantillonnage 3675 hz Échantillonnage Exemple: spectre du signal physique 15 ………Mais des harmoniques hautes fréquences ne sont pas négligeables…… Échantillonnage Exemple K=1 K=-1 K=2 K=-2 …….. Périodisation du spectre à 3675 hz Échantillonnage Exemple 17 Périodisation du spectre à 3675 hz Des raies apparaissent en basse fréquence Échantillonnage Exemple:limite de la bande passante par filtrage Des raies hautes fréquences sont atténuées,…. ….et plus audibles après repliement Échantillonnage réel 19 En pratique, l'échantillonnage ne se fait pas sur un temps infiniment court, et en fait l'échantillon x(nT e) s'écrit : t x(t) nT e h(t-nT e) DT On moyenne la valeur de x(t) pondérée par h(t-nT e) sur l'intervalle DT Expression du signal échantillonné réel ) nTe t ( ) nT ( x ) t ( x n e h he        Exemple Échantillonnage réel par moyennage simple ) 2 / t ( 1 ) t ( h       On prend h(t) comme  D   T h dt ) nTe t ( h ) t ( x ) nTe ( x      nTe nTe h dt ) t ( x 1 ) nTe ( x q t x(t) nT e h(t-nT e) (n+1)T e nTe h ) t ( h ) t ( x ) nTe ( x    On peut également écrire TF d'un signal échantillonné 20 Question : que devient le spectre du signal x(t) après échantillonnage réel? L'expression du signal échantillonnée réellement est : ) nTe t ( ) nT ( x ) t ( x n e h he        On peut également l'écrire            n he ) nTe t ( ) t ( h ) t ( x ) t ( x Donc, d'après les propriétés des TF, on a           n e he ) nF f ( * ) f ( H ) f ( X Fe ) f ( X D'où         n e * e he ) nF f ( H ) nF f ( X Fe ) f ( X Car H(-f)=H*(f) Interprétation - l'expression de Xhe(f) est identique à Xe(f) à un terme de pondération près. - le terme de pondération n'influe pas sur la condition de Shannon - le terme H*(f) introduit une distorsion sur le spectre par rapport au cas idéal. Cette distorsion est d'autant plus faible que H(f) est constant dans la bande [-Fe/2, Fe/2]. Exemple d'échantillonnage réel 21 Soit x(t) un signal dont le spectre est On réalise un échantillonnage réel par moyennage simple ) 2 / t ( 1 ) t ( h               f i e f ) f sin( 1 ) f ( H donc D'après le résultat précédent, on a q=0.1 q=0.01 q=0.5 Fe=20 Hz Xhe(f) en fonction uploads/Philosophie/ chap-iv 1 .pdf