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Théorie de la quantification et de l’échantillonnage ESIEE - Olivier Français A

Théorie de la quantification et de l’échantillonnage ESIEE - Olivier Français Acquisition de données V.3 THEORIE DE L’ECHANTILLONNAGE ET DE LA QUANTIFICATION I Introduction L’objectif de cette partie est de mettre en place les outils mathématiques permettant de modéliser l’acquisition numérique de signaux analogiques. Le but est de comprendre : - Le choix de Te, période d’échantillonnage. - Le Choix de n, nombre de bit de code. - L’influence de l’échantillonnage sur les propriétés d’un signal. Nous devrons garder à l’esprit le fait que l’acquisition numérique ne doit pas détériorer le signal. On doit conserver au travers de la numérisation l’information utile : Voix : [0 ;20kHz] ; Vidéo [0 6MHz] De plus, il faut limiter l’espace mémoire nécessaire au stockage. En effet, il faut stocker « n*Fe » bits par seconde. On s’attachera dans une chaîne d’acquisition à minimiser cette valeur tout en ne détériorant pas le signal. II Théorie de l’échantillonnage En annexe, vous trouverez les rappels permettant de mettre en place la théorie de l’échantillonnage. Pour plus d’informations vous pouvez vous référer au cours de Traitement du Signal (G-Signal). II.1 Acquisition des Signaux Pour transformer un signal analogique en un signal numérique, il faut le discrétiser. On va donc prélever régulièrement des échantillons du signal analogique pour le rendre discret et permettre ainsi sa numérisation : t e( t ) t e( t ) * t e 2t e 3t e 0 0 Si gnal anal ogi que cont i nu Si gnal di scr et Figure 1 : Allure d’un signal échantillonné On prend ainsi des valeurs de e(t) à des intervalles de temps régulier (tous les Te, période d’échantillonnage) à une fréquence Fe dite fréquence d’échantillonnage, que l’on déterminera par la suite. Suite à cet échantillonnage, on quantifie chaque échantillon par une valeur binaire pour la stocker sur un support numérique. Théorie de la quantification et de l’échantillonnage ESIEE - Olivier Français Acquisition de données V.4 II.2 Modélisation de l’échantillonnage L’opération mathématique associée à cette discrétisation revient à multiplier le signal e(t) par un peigne de Dirac δTe t ( ) : ∑ − δ = δ = ) nTe t ( ). t ( e ) t ( ). t ( e ) t ( e Te * On peut ainsi calculer la transformée de Fourier du signal échantillonné en utilisant les propriétés liant une multiplication temporelle qui dans l’espace fréquentiel devient un produit de convolution : ) t ( P ). t ( e ( TF ) f ( E Te * = → ) f ( * ) f ( E Te 1 ) f ( E Te 1 fe * = δ = soit : E f Te E f k fe k *( ) ( . ) = − =−∞ +∞ ∑ 1 Echantillonner le signal e(t) dans le domaine temporel, revient donc à recopier dans le domaine fréquentiel son spectre E(f) tous les Fe. Figure 2 : Propriétés temporelles et fréquentielles du signal d’entrée Figure 3 : Propriétés temporelles et fréquentielles du signal échantillonné II.3 Notion de repliement de spectre On remarquera que si le spectre du signal d'origine à une largeur supérieur à 2Fe on a ce qu'on appelle un repliement de spectre. Figure 4 : Echantillonnage provoquant le repliement de spectre Théorie de la quantification et de l’échantillonnage ESIEE - Olivier Français Acquisition de données V.5 S’il y a repliement de spectre, il n’est plus possible de retrouver le spectre du signal d’origine. Dans ce cas, l’opération d’échantillonnage modifie les caractéristiques du signal d’entrée. Ainsi, si l’on ne veut pas perdre d’informations par rapport au signal que l’on échantillonne, on devra toujours respecter la condition : (Fe≥2Fmax). Condition plus connue par le théorème de Shannon. II.4 Théorème de Shannon On ne peut échantillonner un signal sans pertes d’informations que si : max F 2 Fe > * Note : Rôle du filtre d’entrée Dans le cas d'un spectre de largeur infinie (la réalité), il y a donc toujours repliement de spectre. Il est donc nécessaire de filtrer le signal d'origine afin de limiter cet effet de repliement. Par exemple, dans le cadre de l’audio, on ne va garder que les fréquences que l’oreille est capable d’entendre. Les caractéristiques internes de l'oreille induisent une sensibilité fréquentielle pouvant aller de 20hz à 20khz. C'est pour cette raison que l'on a pris comme fréquence d'échantillonnage fe=44,1 khz dans le cas du CD. Ainsi, avant d'échantillonner le signal, on place en amont un filtre qui a pour but d'éliminer toutes les fréquences supérieures à 20khz. C'est un filtre passe bas. Fi l t r e P. B. Echant i l l onneur e( t ) e( t ) * Figure 5 : Utilisation du filtre en amont de l’échantillonneur II.5 L’échantillonnage blocage Une fois le signal filtré et échantillonné, il reste à le quantifier. Pour pouvoir réaliser cette fonction, on doit maintenir constant la valeur à quantifier afin de permettre au CAN de traiter l'échantillon et de le numériser. On appelle cette opération, le blocage. Ce blocage doit être d’une durée supérieure au temps de conversion : e(t) e*(t) sb(t) 1 Te t Bloqueur Echantillonneur Figure 6 : Association d’un bloqueur à l’échantillonneur II.6 Modélisation de l’échantillonneur bloqueur On suppose le blocage d’une durée θTe où θ ∈ ]0 ;1]. L'opération mathématique associée est la convolution du signal échantillonné e*(t) avec un rectangle de durée Te: ) t ( Rect ) t ( e ) t ( s Te * b θ ∗ = Ce qui alors pour le spectre, revient à le multiplier par un sinus cardinal : Théorie de la quantification et de l’échantillonnage ESIEE - Olivier Français Acquisition de données V.6 ) f f ( c sin ). f ( E ) f ( S e * b θ λ = On peut tracer alors les caractéristiques du signal échantillonné-bloqué en fonction du signal d’entrée : Figure 7 : Propriétés d’un signal échantillonné bloqué (θ<1) On note que dans le cas d’un blocage de faible durée (θ<1), le sinus-cardinal atténue eu les premières recopies de spectre. Un filtre passe-bas avec une fréquence de coupure à Fe/2 permettrait de récuperer de manière parfaite le signal d’entrée. Figure 8 : Propriétés d’un signal échantillonné bloqué (θ=1) Dans le cas d’un signal bloqué sur toute la période d’échantillonnage (ce qui correspond en fait au signal restitué en sortie d’un CNA), le sinus-cardinal écrase les fréquences proches de la fréquence d’échantillonnage et vient donc modifier les propriétés du spectre du signal d’entrée qui ne peut plus être restitué de manière parfaite à l’aide d’un simple filtre. Par contre, il présente l’avantage d’éliminer les recopies de spectre et donc d’alléger le contenu spectral du signal. II.7 Nécessité du filtre d’anti-repliement II.7.1 Caractéristiques idéales Avant de réaliser l'échantillonnage du signal, nous avons vu la nécessité de filtrer ce dernier afin d'éviter ce que l'on appelle le repliement de spectre, plus connu sous la forme du théorème de Shannon. Idéalisé, il doit avoir un gain de 1 sur une bande de fréquence Fe, centrée en zéro. Son rôle va être de limiter le contenu spectral du signal à la partie utile. Il va participer aussi à limiter l’influence du bruit éventuellement présent sur le signal à numériser. Théorie de la quantification et de l’échantillonnage ESIEE - Olivier Français Acquisition de données V.7 Figure 9 : Gabarit idéal du filtre anti-repliement II.7.2 Filtre réel De manière idéal, un filtre passe bas aura un gain constant dans la bande passante, et présentera une coupure infinie au-delà de sa fréquence Fc de coupure. De manière réelle, on est amené à réaliser la synthèse d’un filtre en définissant sa fréquence de coupure à -3db ainsi qu’une atténuation minimum au-delà d’une certaine fréquence. On fait en général appel, dans le cadre d’un filtre anti-repliement, à un filtre du type Butterworth : ) fc f 1 ( 1 ) f ( H n 2 + = Ce type de filtre présente l’avantage de répondre au critère de maximum de platitude dans la bande passante et de présenter un retard de groupe constant jusqu’à fc/2. Le choix de l’ordre du filtre s’effectue de manière à limiter la puissance du signal dû aux recopies de spectre. On limite donc le recouvrement de spectre en terme de puissance ramenée par rapport à la puissance du signal : % X P P signal nt recouvreme ≤ Si l’on suppose un signal à spectre constant, et que l’on admet une puissance ramenée d’au plus 1%, nous pouvons établir en fonction de n, la valeur de la fréquence de coupure du filtre : n 1 2 4 6 Fc Fe/127 Fe/6 Fe/3 Fe/2 Rq : Problème lié au retard de groupe Tout filtre introduit un déphasage qui peut introduire une distorsion dans le cadre d’un signal multifréquence (cas de l’audio) : )) t ( cos( V ) t cos( V Vs ) t cos( V Ve ω ϕ − ω = ϕ − ω = ⇒ ω = Ainsi un signal en sortie d’un filtre ressort avec uploads/Philosophie/ echantillonage-et-la-quantification.pdf