CHAPITRE I RAPPELS DES PRINCIPAUX RÉSULTATS DE LA THÉORIE DU SIGNAL I.1 Signaux

CHAPITRE I RAPPELS DES PRINCIPAUX RÉSULTATS DE LA THÉORIE DU SIGNAL I.1 Signaux I.1.1 Dé nition Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire. Ce signal peut être modélisé par une fonction d'une ou plusieurs variables. I.1.2 Les signaux particuliers exemples de signaux analogiques A n de simpli er les opérations ainsi que les formules obtenues certains signaux fré- quemment rencontrés en traitement du signal disposent d'une modélisation propre. I.1.2.1 Échelon unité Le signal échelon unité, note u (t), ou encore fonction de Heaviside, est dé ni par : u (t) = ( 1 si t ≥0 0 si t < 0 (I.1) - La valeur à l'origine (t = 0) est ici choisie égale à 1 mais ce choix est arbitraire, elle est 1 2 Chapitre I. Rappels des principaux résultats de la théorie du signal parfois xée à 0.5. - Ce signal particulier présente donc un saut (une discontinuité) pour t = 0, il demeure cependant dans notre terminologie un signal à temps continu. - L'échelon unitaire peut être utilisé pour rendre compte de la causalité. Pour tout si- gnal x (t) quelconque, le signal y (t) = x (t) .u (t) est causal. Ce signal est utilisé couramment en analyse des systèmes (réponse indicielle). Sa représention graphique est la suivante : −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −1 −0.5 0 0.5 1 Temps Amplitde u(t) Figure I.1  Echelon unitaire I.1.2.2 Fonction Signe La fonction signe est dé nie par : sgn (t) =      −1 si t < 0 0 si t = 0 1 si t > 0 (I.2) La gure I.2 montre la représentaion graphique de la fonction sgn (t) I.1.2.3 Fonction porte ou fenêtre rectangulaire La fonction porte, notée PT (t), est dé nie par : PT (t) = ( 1 si −T 2 ≤t ≤T 2 0 ailleurs (I.3) I.1. Signaux 3 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −1 −0.5 0 0.5 1 Temps Amplitde sgn(t) Figure I.2  Fonction signe T est l'ouverture de la porte. PT (t) = ( 1 si |t| ≤T 2 0 ailleurs (I.4) PT (t) = ( 1 si |t| ≤T 2 0 si |t| > T 2 (I.5) La gure I.3 illustre la représentaion graphique de la fonction PT (t). −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −1 −0.5 0 0.5 1 Temps Amplitde PT(t) Figure I.3  Porte rectangulaire d'ouverture T = 20 4 Chapitre I. Rappels des principaux résultats de la théorie du signal Remarque 1 - P1 (t) est dite porte unité d'ouverture 1 et de centre 0 . - D'une manière générale pour une porte rectangulaire d'ouverture (durée) T ,de centretd et d'amplitude A. : A.PT (t −td). - La fonction PT (t) est un rectangle de longueur T (entre −T/2 et +T/2) et de largeur 1. donc sa surface est égale T. - La fenêtre rectangulaire peut être dé nie à partir de l'échelon unitaire : PT (t) = u  t + T 2  −u  t −T 2  (I.6) I.1.2.4 Fonction triangulaire La fonction triangle note QT (t), est dé nie par : QT (t) = ( 1 −2 T |t| si |t| ≤T 2 0 ailleurs (I.7) QT (t) = ( 1 −2 T |t| si |t| ≤T 2 0 si |t| > T 2 (I.8) La gure I.4 montre l'évolution de la fonction QT (t) −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −1 −0.5 0 0.5 1 Temps Amplitde QT(t) Figure I.4  Porte triangulaire d'ouverture T = 20 Remarque 2 - La fonction QT (t) est un triangle de base T (La base entre −T/2 et +T/2) et de hauteur 1, donc sa surface est égale T/2. - QT (t) peut être noté ∆T (t) ou triT (t). I.1. Signaux 5 - Q1 (t) est appelée fonction triangle unite. - A.QT (t −td) est appelée porte triangulaire de base (ouverture ou durée) T , de centre td et de hauteur (amplitude ) A. - La fenêtre triangulaire peut être dé nie à partir de la rampe I.1.2.5 Fonction Rampe La rampe unitaire, notée r (t) est dé nie par : r (t) = ( 1 si t ≥0 0 ailleurs (I.9) r (t) = ( 1 si t ≥0 0 si t < 0 (I.10) La gure I.5 montre l'évolution de la fonction r (t) −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −0.5 0 0.5 1 Temps Amplitde r(t) Figure I.5  Signal rampe unitaire I.1.2.6 Impulsion de Dirac L'impulsion de Dirac, notée δ (t), n'est pas une fonction mais une distribution, elle est dé nie par les deux équations ?? et I.12 : δ (t) = ( ∞ si t = 0 0 si t ̸= 0 (I.11) 6 Chapitre I. Rappels des principaux résultats de la théorie du signal et +∞ Z −∞ δ (t)dt = 1 (I.12) L'impulsion de Dirac peut être modélisée comme la limite d'une impulsion dont la largeur tendant vers 0 et d'aire égale à 1. Ce peut être, par exemple, - une impulsion rectangulaire centrée sur 0 de largeur ε et de longueur 1 ε, - ou une impulsion triangulaire centrée sur 0 de base 2ε et de hauteur 1 ε, Nous avons également (voir gure I.6) : De manière conventionnelle, les représentations −10 −5 0 5 10 −3 −2 −1 0 1 2 3 Temps Amplitde δ(t) Figure I.6  Impulsion de Dirac graphiques d'une impulsion de Dirac retardée δ (t −tr) est une èche verticale placée en t = tr de longueur proportionnelle à l'aire. I.7a et d'une impulsion de Dirac avancée a.δ (t + ta) est une èche verticale placée en t = ta de longueur proportionnelle à l'aire I.7c. Ci-joint quelques propriétés utiles de l'impulsion de Dirac 1. Intégrales +∞ Z −∞ δ (t)dt = 1 (I.13) +∞ Z −∞ f (t) .δ (t)dt = f (0) (I.14) +∞ Z −∞ f (t) .δ (t −a)dt = f (a) (I.15) I.1. Signaux 7 −4 −2 0 2 4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Temps Amplitde δ(t+ta) −4 −2 0 2 4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Temps δ(t) −4 −2 0 2 4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Temps δ(t−tr) Figure I.7  Impulsion de Dirac avancée ta = 2 centrée et retardée tr = 2 +∞ Z −∞ f (t) .δ(n) (t −a)dt = (−1)ndnf (t) dtn t=a (I.16) 2. Produit f (t) .δ (t) = f (0) .δ (t) (I.17) f (t) .δ (t −a) = f (a) .δ (t) (I.18) f (t) .δ′ (t −a) = f (a) .δ′ (t −a) −f ′ (a) .δ (t −a) (I.19) 3. Identité : f (t) ∗δ (t) = f (t) (I.20) 4. Translation f (t) ∗δ (t −a) = f (t −a) (I.21) f (t −a) ∗δ (t −b) = f (t −a −b) (I.22) 5. Similitude δ (a.t) = 1 |a|δ  t a  (I.23) 8 Chapitre I. Rappels des principaux résultats de la théorie du signal 6. Relation entre l'échelon et l'impulsion de Dirac t Z −∞ δ (τ) dτ = u (t) (I.24) δ (t) = du (t) dt (I.25) δ(n) (t) = dnu (t) dtn (I.26) 7. Peigne de Dirac : On appelle peigne de Diarc une succession périodique d'impulsions de Dirac : δTe (t) = +∞ X k=−∞ δ (t −kTe) (I.27) Te est la période du peigne. Cette suite est appelée function d'échantillonnage ou train d'impulsion. −10 −5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 2 Temps Amplitde δTe(t) Figure I.8  Peigne de Dirac I.1.2.7 Sinus cardinal La fonction sinus cardinal est dé ni par : sinc (t) = sin (t) t (I.28) avec : lim t→0 sin(t) t = 1 I.2. Séries de Fourier 9 −5 0 5 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Temps Amplitde sinc(t) Figure I.9  Sinus cardinal tracé sous Matlab Remarque 3 En Matlab, la fonction sinus cardinal est dé nie par : sinc (t) = sin(πt) πt I.2 Séries de Fourier I.2.1 Dé nition Les séries de Fourier visent à décomposer une fonction périodique comme une  somme in nie de fonctions trigonométriques  de fréquences multiples d'une fréquence fondamen- tale. Dans un premier temps, on procède à l'analyse du  contenu en fréquences , appelé spectre, de la fonction. Puis, suivant les hypothèses faites sur la fonction et le cadre d'analyse choisi, on peut disposer de théorèmes permettant de recomposer f. (synthèse) I.2.2 Les trois développements de la série de Fourier Ils existent trois développements diérents de la série de Fourier I.2.2.1 Développement de la série de Fourier en cosinus et sinus 1. Modèle mathématique : Considérons un signal périodique x (t) de période T = 1 f0. Son développement en série de Fourier est alors le suivant : x (t) = a0 2 + +∞ uploads/Philosophie/ chapitre-1-tsl3.pdf

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