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Matière : Théorie du Signal 2ème année licence Electrotechnique et Automatique

Matière : Théorie du Signal 2ème année licence Electrotechnique et Automatique ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chargé de cours : Pr. BOUAFIA Abdelouahab / E-mail : bouafia_aou@yahoo.fr, bouafia_aou@univ-setif.dz /Tel : 0553424882 Département d’électrotechnique, Faculté de Technologie, Université de Sétif 1. 1 CHAPITRE 1 GENERALITES SUR LES SIGNAUX 1.1 Introduction : L’objectif fondamental de la théorie du signal est la description mathématique des signaux sous leur forme temporelle ou fréquentielle. Elle fournit l’ensemble des outils mathématiques nécessaire pour décrire les signaux et les bruits émis par une source ou modifiés par un système de traitement (dispositifs généralement électriques ou électroniques). La théorie du signal fait appelle à l’algèbre linéaire, l’analyse fréquentielle et l’étude des processus aléatoires. La position de la théorie du signal dans une chaîne de transmission de l’information est illustrée sur la figure suivante : Le traitement du signal est une discipline technique importante de nos jours. Elle offre l’ensemble des méthodes et des algorithmes qui permet l’élaboration, la détection et l’interprétation les signaux porteurs d’information. Son but est donc d’extraire le maximum d’information utile sur un signal perturbé par un bruit en s’appuyant sur les ressources de l’électronique et de l’informatique. Le traitement du signal trouve son champ d’application dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission ou l’exploitation de l’information transportée par des signaux. Exemples : télécommunication, technique de mesures, diagnostic des défauts, étude des vibrations mécaniques, surveillance de processus industriels, reconnaissance de formes, traitement d’images, analyses biomédicales, géophysique, séismologie, radar, sonar, acoustique, etc. 1.2 Définitions : 1.2.1 Signal : Un signal est la représentation physique de l’information, qu’il convoie de sa source à son destinataire. C’est une expression d’un phénomène qui peut être mesurable par un appareil de mesure (courant, tension, force, température, pression, vibration etc.). En fonction de la nature du support, on parle par exemple de : - Signal électrique (téléphonie) - Onde électromagnétique (télécommunication) - Onde acoustique (sonar) - Onde lumineuse (fibre optique) - Signal binaire (ordinateur) On parle également de signal de mesure, de commande, d’entrée et de sortie d’un système, de signaux vidéo, audio, etc…. en fonction de la nature de l’information transmise. 1.2.2 Bruit : Toute perturbation indésirable superposée à un signal et gênant la perception ou l’interprétation de ce dernier. Le bruit s’additionne au signal utile porteur d’information dans la phase de transmission dans un canal ou dans un système de traitement de l’information. Exemple : pour un opérateur sonar, le signal utile est émis par les navires et les sous-marins. Alors que les poissons émettent des signaux qui sont des perturbations pour le signal utile, donc des bruits. Ainsi, il apparaît évident qu’un problème fondamental en traitement du signal sera d’extraire le signal utile du bruit. Matière : Théorie du Signal 2ème année licence Electrotechnique et Automatique ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chargé de cours : Pr. BOUAFIA Abdelouahab / E-mail : bouafia_aou@yahoo.fr, bouafia_aou@univ-setif.dz /Tel : 0553424882 Département d’électrotechnique, Faculté de Technologie, Université de Sétif 1. 2 Le rapport signal sur bruit mesure la qualité du signal reçu et la quantité de bruit contenue dans ce dernier. Il s’exprime par le rapport des puissances du signal (PS) et du bruit (PN). Il est donné en décibels (dB) : log S dB N P S N P ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 10 1.3 Signaux particuliers : 1.3.1 Fonction signe : La fonction signe, notée sgn est une fonction réelle définie par : sgn( ) pour t pour + 〉 ⎧ = ⎨− 〈 ⎩ 1 0 1 0 t t Par convention, on admet pour valeur à l'origine : sgn (0) =0. Cette fonction est impaire : sgn(-t)= -sgn(t) 1.3.2 Fonction échelon de Heaviside : La fonction échelon unité, ou simplement échelon ou fonction de Heaviside, notée u, est une fonction réelle définie par : ( ) pour u t pour ≥ ⎧ = ⎨ 〈 ⎩ 1 0 0 0 t t Elle peut être exprimée par la relation suivante : ( ) sgn( ) u t t = + 1 1 2 2 D’une manière générale, la fonction A.u(t-t0) est défie par l’expression suivante : . ( ) A pour t Au t pour t ≥ ⎧ = ⎨ 〈 ⎩ 0 0 0 t t 1.3.3 Fonction rampe La fonction rampe, notée r, est une fonction réelle définie par la relation suivante: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) t pour r t u d r t t u t r t t pour τ τ −∞ 〈 ⎧ = ⇒ = ⇒ = ⎨ ≥ ⎩ ∫ 0 0 0 t t 1.3.4 Fonction rectangulaire (Porte) : La fonction rectangle ou porte normalisée de surface 1 est nommée rect(t). Elle est définie par l’expression suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) pour rect t u t u t rect t pour ≤ ⎧ = + − − ⇒ = ⎨ 〉 ⎩ 1 1 2 1 1 0 1 2 2 2 t t D’une manière générale, pour une impulsion rectangulaire de largeur T, d’amplitude A et centrée en t=t0 on note : . ( ) T T A pour t t t t Arect T ailleurs ⎧ ⎡ ⎤ ∈ − + − ⎪ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ ⎨ ⎪ ⎩ 0 0 0 2 2 0 t Si le rectangle est centré autour de l’origine, la fonction est : . ( / ) A pour T Arect t T ailleurs ≤ ⎧ = ⎨ ⎩ 2 0 t Elle sert de fonction de fenêtrage élémentaire. t . ( ) t t A rect T − 0 0 t T − 0 2 A t0 t T + 0 2 T t rect(t) 0 1/2 -1/2 1 0 t r(t) 1 1 A t A.u(t-t0) 0 t0 +1 t u(t) 0 +1 -1 0 t sgn(t) Matière : Théorie du Signal 2ème année licence Electrotechnique et Automatique ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chargé de cours : Pr. BOUAFIA Abdelouahab / E-mail : bouafia_aou@yahoo.fr, bouafia_aou@univ-setif.dz /Tel : 0553424882 Département d’électrotechnique, Faculté de Technologie, Université de Sétif 1. 3 1.3.5 Fonction triangulaire : La fonction triangulaire normalisée de surface 1 est notée tri(t). Elle est définie par : ( ) t pour tri t pour − ≤ ⎧ = ⎨ 〉 ⎩ 1 1 0 1 t t De même, la fonction triangulaire de largeur 2T, d’amplitude A et centrée en t=t0 est définie par l’expression suivante : [ ] [ ] ( ) . ( ) ( ) A A t t T pour t T t T T t t A A Atri t t T pour t t T T T T ailleurs ⎧ − − ∈ − ⎪ ⎪ − ⎪ = − + + ∈ + ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 0 0 0 0 0 0 0 t t t . ( ) t t Atri T − 0 t 0 t T + 0 0 A t T − 0 1.3.6 Impulsion de Dirac : L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont la largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire (surface) est égale à 1. C’est la limite de la fonction porte de largeur ε et d’amplitude 1/ε : ( ) lim ( / ) t rec t ε δ ε ε →∞ = 1 D’où : ( ) t=0 t pour t pour δ +∞ ⎧ = ⎨ ≠ ⎩0 0 Elle est aussi la dérivée de la fonction échelon unitaire : ( ) ( ) / t du t dt δ = Elle est représentée par une flèche verticale dont le module est égal à 1. L’impulsion de Dirac centrée autour de t=t0 est définie par : ( ) pour t t pour δ +∞ ⎧ − = ⎨ ≠ ⎩ 0 0 0 0 t=t t t L’impulsion de Dirac joue le rôle d’une fonction indicatrice lorsqu’elle intervient dans une intégration. On peut écrire en effet : ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) x t t t dt x t x t t dt x δ δ +∞ +∞ −∞ −∞ − = ⇒ = ∫ ∫ 0 0 0 En particulier lorsque : ( ) ( ) x t t dt δ +∞ −∞ = ⇒ = ∫ 1 1 Propriétés de l’impulsion de Dirac : Identité : ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) x t t x t x t t t x t t t δ δ δ δ = − = − 0 0 0 0 Changement de variable : ( ) ( ) at t a δ δ = 1 Le produit de convolution : ( )* ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) x t t x t x t t t x t t x t t t t x t t t δ δ δ = − = − − − = uploads/Philosophie/ lat44-theorie-signal.pdf