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George Cantor (1845-1918) était un mathématicien allemand. Gottlob Frege (1848-

George Cantor (1845-1918) était un mathématicien allemand. Gottlob Frege (1848-1925) était un mathématicien, logicien et philosophe allemand. xIntroductionx Conformément aux objectifs fixés, le point de vue adopté dans ce chapitre est une approche naïve de la théorie des ensembles. Néanmoins, quelques références aux axiomes de la théorie des ensembles seront nécessaires. Historiquement, la notion d’ensemble a été introduite au XIXe siècle par Cantor puis formalisés notamment par Frege, qui introduit les ensembles à partir de la notion de prédicat. La théorie des ensembles nous servira de base pour établir toutes les théories mathématiques que l’on rencontrera à travers les chapitres d’algèbre, d’analyse, de géométrie et de probabilité. Ce chapitre est donc incontournable et il n’est pas envisageable d’en faire l’impasse. xPrérequisx • Niveau Terminale (Bac + 1 dans l’idéal) • Notions élémentaires de logique (connecteurs logiques, quantificateurs, théorèmes de logique...) • Connaître et utiliser les différents types de raisonnements (par l’absurde, par disjonction de cas, par contra- position...) xObjectifs du chapitrex • Introduire les opérations élémentaires sur les ensembles • Etudier les opérations élémentaires sur les ensembles Théorie naïve des ensembles Grosso modo, un ensemble est une sorte d’enveloppe virtuelle. Si l’ensemble est infini, on peut se con- tenter de donner quelques éléments à condition qu’il n’y a pas de risque d’ambiguïté. Par exemple, l’ensemble {0, 1, 2, ...} désigne l’ensemble des entiers naturels. L’existence d’un tel ensemble est ad- mise. xAx Introduction et premières notions x1x La notion d’ensemble Un groupe d’amis, une grappe de raisin, un ensemble de points sont d’autant d’exemple d’ensembles de choses. Nous avons tous une idée intuitive de ce qu’est un ensemble et nous nous contenterons de cette idée. Le concept mathématique d’un ensemble peut servir de fondement à toutes les branches connues des mathématiques. Dans ce cours, nous n’avons pas la prétention de définir ce qu’est réellement un ensemble. On dit que c’est une notion primitive (ou première). Les ensembles sont traditionnellement notés au moyen d’une lettre de l’alphabet (en ma- juscule). Il apparait alors la nécessité d’appartenir ou non dans un ensemble. C’est aussi une notion primitive. Pour signifier que x est un élément de l’ensemble E on écrit x E  et on lit « x appartient à E » ou « x est un élément de E ». Si x n’est pas un élément de E on écrit x E  et on dit que « x n’appartient pas à E ». Remarques 1. L’énoncé « x E  » est un prédicat. Sa négation est l’énoncé « x E  ». 2. Traditionnellement, on représente les ensembles au moyen de diagrammes de Venn (voir le dessin ci-contre). Les éléments d’un ensemble (s’il y en a) sont représentés par des points ou le plus souvent par des croix. Le nom des éléments ainsi que le nom de l’ensemble sont indiqués sur le côté. x2x Définir un ensemble Il existe plusieurs manières de définir un ensemble. Définir un ensemble en extension, c’est énumérer tous ses éléments. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 10 se note : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Il est aussi possible, s’il n’y a pas de risque d’ambiguïté, d’utiliser des points de suspension. Ainsi, l’ensemble précé- dent peut aussi se noter : {0, 1, 2, ..., 10}. Définir un ensemble en compréhension, c’est caractériser ses éléments à l’aide d’une propriété caractéristique. L’en- semble pris précédemment peut s’écrire : { , 10} n n   . D’une manière générale, lorsqu’un ensemble E est défini en compréhension, il s’écrit : { , ( )} x E P x  , où P est un prédicat défini sur E. x3x Cardinal d’un ensemble Intuitivement, le cardinal d’un ensemble (qui n’est pas infini) est son nombre d’éléments. Nous définirons rigoureuse- ment dans le chapitre 8 cette notion. En attendant, gardons-en l’idée intuitive car elle nous sera utile. Exemple Le cardinal de l’ensemble {1, {2, 3}} est égal à 2. Définition 1 On appelle ensemble vide tout ensemble qui ne comporte aucun élément. Il existe un axiome (l’axiome d’extensionalité) qui permet de prouver qu’il n’existe qu’un ensemble vide. Nous l’admettons dans ce cours. L’ensemble vide est noté . Définition 2 On appelle singleton tout ensemble qui ne comporte qu’un seul élément. Exemples 1. L’ensemble { }  est un singleton car il possède bien qu’un élément (l’ensemble vide). 2. L’ensemble {{1, 2}} est aussi un singleton car il possède qu’un élément (l’ensemble {1, 2}). Le cours du chapitre 1   x y E On rappelle que dans l’écriture d’un ensemble en extension, un élément se compte qu’une fois. Cette équation admet deux solutions complexes conjuguées l’un l’autre. C’est l’axiome d’extensionalité. Comme pour la notion d’ensemble, on ne définit pas l’égalité mais on donne des axiomes qui permettent d’utiliser cette notion (qui est une relation comme on le verra dans le chapitre sui- vant). Le théorème 2 est une conséquence directe de l’axiome d’extensionalité et de la définition 4. Remarque On considérera par exemple que l’ensemble { , }  est un singleton. Définition 3 On appelle paire tout ensemble qui ne comporte que deux éléments. Exemple L’ensemble des solutions dans  de l’équation d’inconnue x : 2 1 0 x x    , est une paire. xBx Inclusion et égalité de deux ensembles x1x Définition Définition 4 Soient E et F deux ensembles. Dire que l’ensemble E est un sous-ensemble de l’ensemble F, signifie que : , x x E x F     . Remarques 1. La définition 4 dit simplement qu’il y a synonyme entre E est un sous-ensemble de F et que tout élément de E est un élément de F (c’est conforme au diagramme ci-dessus). 2. Pour signifier que l’ensemble E est un sous-ensemble de F, on écrit : E F  . 3. On dit aussi que E est inclus dans F, que E est une partie de F ou encore que F contient E. 4. Ne pas confondre le symbole «  » avec celui de l’appartenance «  ». Par exemple, pour l’ensemble {{1}, 2}, le singleton {1} appartient à cet ensemble alors que le singleton {2} est une partie de cet ensemble. Exemple Que peut-on dire des ensembles {1, 2} et {2, 1, 3} ? Tous les éléments du premier ensemble sont aussi des éléments du second. Il vient donc que {1, 2} {2,1, 3}  . x2x Egalité de deux ensembles Dans la théorie axiomatique des ensembles, il existe un axiome garantissant l’égalité de deux ensembles : quand ces derniers ont les mêmes éléments. L’égalité de deux ensembles quant à elle répond à trois axiomes : Axiomes Quels que soient les ensembles E, F et G : 1) E E  2) E F F E    3) E F E G F G            . Le théorème suivant est évident et se démontre à partir des axiomes précédents : Théorème 1 Quels que soient les ensembles E, F et G : E F F G E G            . Preuve Supposons que E = F et E = G. L’égalité E = F entraîne que F = E. Puis, en utilisant le troisième axiome de l’égalité, il vient que F = G.  Théorème 2 Quels que soient les ensembles E et F : (( ) ( )) E F E F F E      . Le cours du chapitre 1 E F Axiomes de l’égalité D’autres auteurs font l’inverse. Ils uti- lisent la notation E F  pour indi- quer que E est un sous-ensemble de F mais avec les ensembles E et F dis- tincts puis la notation E F  pour in- diquer que E F  ou E = F. On rappelle que l’inclusion E  abrège l’assertion , x x x E    . Cet axiome s’appelle l’axiome de l’en- semble des parties. Le théorème 4 est une conséquence immédiate de la définition de l’en- semble des parties d’un ensemble. Cette remarque est importante. Remarques 1. En utilisant les connecteurs logiques, on a : ( , ) E F x x E x F      . 2. Il se peut que E F  sans que les ensembles E et F soient égaux (c’est le cas le plus fréquent). Dans ce cas, on peut écrire que E F  mais cette notation est rarement utilisée. 3. On note E F  la négation de E F  , c’est-à-dire : ,( ) ( ) x x E x F     . x3x Propriétés de l’inclusion Théorème 3 Quels que soient les ensembles E, F et G : 1) E  2) E E  3) E F E G F G            . Preuve 1) L’assertion uploads/Philosophie/ chapitre-1-thacorie-des-ensembles.pdf