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République Algérienne Démocratique et populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientiﬁque Algèbre (Cours+Exercices corrigés) École Supérieure en Génie Électrique et Énergétique d’Oran ESG2E Dr. Imene Meriem Mostefaoui 2017-2018 Je dédie ce travail à tout étudiant honnête dont la pression des études ne l’empêche pas de chercher la qualité de la formation. ii Résumé Dans cet ouvrage, nous abordons le programme d’algèbre première année. Les cours sont présentés d’une façon très claire avec beaucoup d’exemples ce qui permet à l’étudiant la meilleure compréhension du programme. A la ﬁn de chaque cours, des exercices avec solution détaillée sont proposés. Mots clés Logique mathématique, Applications, Structures algébriques, Polynômes, Espaces vectoriels, Matrices, Réduction des matrices. iii Références Dans ce travail quelques références sont utilisées F. Liret, D. Martinais. Algèbre première année : Cours et exercices avec solutions. DU- NOD (2003). David C. Lay. Algèbre linéaire : Théorie, Exercices & Applications. de boeck (2004). A. Bodin, B. Boutin, P. Romon. Algèbre : Cours de Mathématiques première année Ex07. Table des matières 1 Logiques, Ensembles et Applications 1 1.1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Logique des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Quantiﬁcateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Types de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Ensemble de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Image directe et Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Injectivité, Surjectivité, Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Sur la logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3 Sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Structures Algébriques 17 2.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Groupes et Sous-Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Morphismes des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Propriétés des morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Anneau des polynômes 29 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Division euclidienne et division suivant les puissances croissantes . . . . . 31 3.4 Plus grand commun diviseur (p.g.c.d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 vi Table des matières 4 Fractions rationnelles 45 4.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Pôles d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3.1 Exemples sur R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3.2 Exemples sur C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.4 Applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 Espaces vectoriels 53 5.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Sous-Espaces vectoriels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3.1 Familles d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 uploads/Philosophie/ polycopie-algebre-mostefaoui-1.pdf