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1 Le paradis des bijections à Pierre Soury Nous ne nous laisserons pas chasser

1 Le paradis des bijections à Pierre Soury Nous ne nous laisserons pas chasser de l'enfer que Freud a créé pour nous, nous le faisons bouger. Pour un enseignement des mathématiques qui relève de la raison de leur matérialité littérale (enchaînement effectif) à l'occasion qui nous ait donné de définir les bijections et leur groupe algébrique dans le cas des applications bijectives. Ces dernières donnant lieu comme dit la chanson1 à un petit coin de parapluie dans un petit coin du " paradis que Cantor a créé pour nous" selon Hilbert nous précisons la définition des fonctions bijectives et des objets mathématiques (mathèmes) leur pratique et leur souplesse pouvant, parfois, aller jusqu'à de graves négligences à l'égard des étudiants dans les cours de mathématiques. 1. - Bijections La définition des fonctions bijectives avec sa présentation en algèbre2 reste assez divertissante. En fait il s'agit souvent de se contenter des applications bijectives de la théorie des ensembles. il semble à certains qu'il suffit de dire qu'une application f est une correspondance définie entre les éléments d'un ensemble noté : E, avec les éléments d'un autre ensemble noté : F, ce qui donne lieu à un mathème ensembliste constructible, c'est à dire bien construit. f : E ⟶ F Ce graphème est un énoncé donnant lieu à un objet effectif depuis la théorie des ensembles de Cantor sauvée grâce à sa version axiomatisée (Z-‐F) par Zermelo et Fraenkel qui acceptent d'abandonner certains préjugés comme celui de croire quetoute classe d'extension de concept est un ensemble, en particulier faire le deuil de la classe universelle d'une théorie. des ensembles comme objet intrinsèque à la théorie. Pour vous l'illustrer on vous donne un diagramme du genre que tout le monde comprend à condition de ne pas être jugé par les autres comme stupide, où les éléments respectifs de E et de F sont placés dans une bulle, mais dont il suffit de constater que nous pouvons écrire la même chose de façon moins parlante sur une seule ligne plus proche de l'écriture ordinaire (alphabêtique) en extention dans ce cas fini, E = {a, b, c, d, e} et F = {2, 4, 6, 8, 10} avec des accolades : {, }, qui font aussi désormais partie des mathèmes de la théorie des ensembles. 1 Georges Brassens, un petit coin de paradis sous un petit coin de parapluie 2 Indiquons, dés le début que nous voulons revenir avec précision sur cette définition des fonctions en tant qu'il s'agit de relations fonctionnelles telles quelles seront définies dans ce qui suit. La théorie des ensembles ne doit pas rester l'occasion de négliger la logique qui ouvre sur d'autres types d'écriture aussi mathématiques. 6 4 2 0 8 a d c b e E F 2 Le plus important reste d'indiquer le tressage de flèches pour noter la correspondance élément par élément, qu'ici nous écrirons, plus simplement aussi sur une ligne par exemple f(a) = 4, f(b) = 6, f(c) = 0, f(d) = 4, f(e) = 0, afin de définir la dite application. Au début, les choses paraissent simples On nous dit qu'une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective avec aussitôt les deux définitions de ces propriétés sur lesquelles le bon élève se précipite. Injective Une application est injective si tous les éléments qui sont atteints dans l'ensemble d'arriver, ici F de notre exemple, ne sont atteint qu'une fois et une seule fois. Ou pour le dire autrement ils ne sont l'image que d'un seul élément de l'ensemble de départ, ici E de notre exemple. Il saute aux yeux de celui qui s'exerce à lire que l'application prise comme exemple n'est pas injective, du fait qui se transcrit, f(a) = f(d) = 4, mais aussi f(c) = f(e) = 0. La propriété des applications injectives s'écrit dans le système d'écriture dit du calcul des prédicats kantifiés au premier ordre qui sert à écrire la théorie des ensembles Z-F, x x'( (f(x) = f(x')) ⇒ (x = x') ) Ici, la négation de cette propriété, est vérifiée par notre exemple, elle s'écrit, x x'( (f(x) = f(x')) ∧ (x ≠ x') ) Surjective Une application est surjective si tous les éléments sont atteins dans l'ensemble d'arrivé, ici F de notre exemple. Ou pour le dire autrement les éléments de F sont tous image d'au moins un élément de l'ensemble de départ, ici E de notre exemple. Il saute encore à l'esprit de celui qui tente de lire que l'application prise comme exemple n'est pas surjective, du fait qui se transcrit 4 et 10 dans F ne sont les images d'aucun élément de E. Où, pour le dire d'une autre manière, plus lapidaire : il n'y a pas d'élément de E qui ont comme image par f les éléments de F 2 et 8. La propriété des applications surjectives s'écrit aussi dans le même système d'écriture, y x(y = f(x)) : f est surjective et sa négation qui est vérifiée par notre exemple s'écrit aussi bien ainsi y x(y ≠ f(x')) : f n'est pas surjective. Nous pouvons alors enfin en venir aux applications bijectives. Bijective Donnons l'exemple d'une application f ' de E dans F qui soit bijective, 3 avec f '(a) = 4, f '(b) = 6, f '(c) = 0, f '(d) = 8, f '(e) = 2, qui vérifie à la fois x x'( (f '(x) = f '(x')) ⇒ (x = x') ) f ' est injective et y x(y = f '(x)) f ' est surjective Ainsi f ' est bijective. De cette définition des applications bijectives entre deux ensembles suit un théorème Théorème Pour toute application bijective il existe une application bijective réciproque. et trois conséquences. 1 - Nombres L'existence d'une bijection entre deux ensembles produit une relation dite d'équipotence ou de congruence entre les ensembles. Relation qui présente un invariant au travers des bijections qui définissent cette relation, celui-ci est désigné en tant que cardinal des ensembles concernés, ce cardinal invariant est constant entre ensembles équipotents ou congrus entre eux. La cardinale d'un ensemble est réputé correspondre au nombre de ses éléments. Mais de ce fait les nombres cardinaux sont définis en tant qu'invariant de la relation d'équipotence ou de congruence entre ensemble mais ils ne sont pas encore constructibles de ce simple fait, nous ne pouvons répondre à la question : "combien?". Les ensembles ont un nombre d'éléments, désigné comme leur cardinal, invariant entre ensembles congrus entre eux mais à cet instant de la construction mathématique personne ne sait quel est ce nombre. Pour la simple raison qu'il ne sera connu en tant que nombre seulement quand les nombres seront construits en tant qu'ensembles. Or, en théorie des ensembles ceux sont les ensembles ordinaux qui vinnent pour commencer à construire des nombres, pour vérifier les axiomes de Peano : grâce à la définition d'un premier terme disons : zéro écrit 0 en arithmatique avec l'ensemble vide, noté : ∅, et de la fonction successeur de x disons : "x plus un." écrit (x+1) en algèbre avec l'expression notée : (x∪{x}) , si vous voulez bien respecter la tradition. Nous reviendrons sur "ce petit problème" qui parait annexe aux professeurs de mathématiques, car, pour nous, la découverte des nombres, lors de l'apprentissage de lalangue par les enfants, commence par les nombres cardinaux sans la congruence. Ceci veut dire qu'ils connaissent des nombres du fait de parler, de nommer et savent s'en servir, avant d'avoir appris à compter. 6 4 2 0 8 a d c b e E F 4 Dans l'emploie des nombres lisibles, ils n'ont pas encore recours aux nombres ordinaux définis comme objets abréviateurs ensemblistes grâce à une spécification à la B. Russell. Les nombres cardinaux viennent comme adjectifs mais ils sont aussi des noms d'attributs reconnus et nommables par le sujet de lalangue, la langue vulgaire, selon Dante3, lorsqu'elle est encore parlée de manière exclusive par opposition à, cette autre langue la grammaire qui exige de l'étude, suivant l'exemple de la grammaire latine. 2 - Applications réciproques bijectives d'une bijection (l'enseignement des mathématiques) Le théorème délicieux entre bijections qui suit leur définition et s'énonce de façon si parfaite, Théorème Pour toute application bijective il existe une application bijective réciproque. Mine de rien, ce théorème présente deux parties distinctes ou deux résultats emboîtés entre eux. L'un consiste à démontrer, d'abord, qu'à partir d'une bijection il existe toujours une autre application dite application réciproque et, ensuite, second résultat, il consiste à démontrer que cette nouvelle application est bijective. Ainsi, des deux propriétés d'injectivité et de surjectivité qui caractérisent les applications bijectives nous devons pouvoir déduire l'existence d'une autre application avant de démontrer que celle-ci, cette nouvelle application, présente aussi ces deux propriétés. Il n'échappera pas au lecteur que dans l'état de l'exposé qui précède et qui se contente de présenter l'a notion de fonction dans le cas d'applications entre deux ensembles par un schéma, il manque une donnée qui doit préciser la définition de la notion de fonction avant de définir celle d'application uploads/Philosophie/ le-paradis-des-bijections.pdf