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Chapitre 2 Concepts de base de l 1. Introduction Récemment, certaines technique

Chapitre 2 Concepts de base de l 1. Introduction Récemment, certaines techniques issues de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques, ont été introduites afin d’expliquer certains phénomènes biologiques et physiologiques. En effet, l’analyse linéaire de ces signaux ne permet d’extraire que quelques informations sur la dynamique des processus biologiques. Ceci est lié à l’effet que les phénomènes physiologiques traduisent l’évolution des processus non linéaires. Ces techniques ont été appliquées avec succès dans le domaine de la biologie et de la médecine. Le présent chapitre traite les concepts fondamentaux de l’analyse non linéaire des systèmes dynamiques. En réalité, la compréhension de ces concepts est indispensable afin de mieux comprendre et interpréter les résultats obtenus lorsque ces techniques sont appliquées à des signaux physiologiques tels que le signal ECG, la variabilité du rythme cardiaque et la variabilité de l’intervalle QT. Ce chapitre contient certaines définitions telles que les définitions d’un système dynamique, l’espace des phases, le comportement chaotiques et d’autres définitions, qui apparaissent incontournables pour mieux comprendre les résultats obtenus qui seront présentés dans les chapitres suivants. 2. Systèmes dynamiques Un système qui évolue dans le temps est qualifié comme étant un système dynamique. Il peut être décrit par un ensemble des variables dont leurs valeurs changent en fonction du temps [1]. Ces variables sont appelées variables d’état. Autrement dit, les variables d’état sont des variables qui peuvent décrire l’état d’un système dynamique à tout instant t . Un système dynamique peut être décrit par une équation différentielle de la forme suivante (Eq. 2.1) : 34 35 Analyse non linéaire des intervalles ECG en vue d’une reconnaissance des signatures pathologiques d ⃗ x dt =⃗ F(⃗ x (t ) ,α ) (2.1) On peut aussi le représenté par n équations différentielles de la forme : { d x1 dt =f 1(x1,…., xn,t ,α) . . . d xn dt =f n(x1,…., xn,t ,α) (2.2) ⃗ x (t ) représente le vecteur qui contient les variables d’état et α est un vecteur contenant les paramètres du système. Ces deux représentations sont utilisées pour décrire un système dynamique continu. Dans le cas d’un système discret, on utilise une séquence des valeurs discrètes pour représenter chaque variable d’état : x→f (x) xn+1=f (xn) (2.3) En effet, les paramètres sont des constants tandis que les variables d’état changent en fonction du temps. Le choix des variables d’état est primordial. Il dépond énormément du modèle du système dynamique. Une variable d’état d’un modèle donné peut être considérée comme un paramètre dans un autre modèle. Le choix se fait donc selon le modèle du système qu’on veut construire. Pour mieux assimiler ces notions, on prend ; comme premier exemple ; un système constitué d’un ressort ; de raideur k ; attaché à une masse m . Le système subit à une force de frottement visqueux ⃗ Ff et à une force de rappel ⃗ Fr. Ce système est illustré sur la figure 2.1. Le système masse-ressort peut être décrit par deux variables d’états : la position x (t )de la masse m et sa vitesse ˙ x (t ). 36 Chapitre 2 Concepts de base Figure 2.1 système masse-ressort Dans le cas des faibles amortissements, la position de la masse x(t) est donnée par équation 2.4 : x (t )=x0e −ξtcos ⁡(ω0t ) (2.4) Avec : x0 : La position initiale ξ :≤coefficient d' ammortissement ω : La pulsation Sachant que la vitesse ˙ x (t )est la dérivée par rapport au temps de la position x (t ), dans le cas des faibles amortissements, on peut exprimer cette dernière par l’équation1 1.5 : ˙ x (t )=v(t)=−x0ω0e −ξtsin ⁡(ω0t) (2.5) Avec : x0 : La positioninitiale ω0 : La pulsation propre ω : La pulsation Pour le système masse-ressort x0 , ξ et ω0 sont considérés comme étant des paramètres. En effet, ce premier exemple représente un système dynamique continu. La population d’une espèce donnée, représente un bon exemple pour un système dynamique discret. Cette population peut être modelée par une série de la forme [2] (Eq 1.6) : xn+1=β xn(1−xn) (2.6) Avec xn : populationdansl 'année actuelle xn+1 : populationdansl ' année prochaine β :taux de croissance 1 37 Analyse non linéaire des intervalles ECG en vue d’une reconnaissance des signatures pathologiques Ce système, très simple, permet de modéliser le fait que si la population est faible alors elle va augmenter, mais si la population est trop importante elle va manquer de ressources alimentaires et par conséquence elle diminue. 3. Type des systèmes dynamiques Système linéaire et système non linéaire Un système dynamique est dit linéaire s’il subit au principe de la superposition. Ce principe est illustré sur la figure 2.2. Supposons qu’une excitation e1(t) à l’entrée du système donne une réponse s1 (t) à sa sortie, et qu’une autre excitation e2(t) engendre une réponse s2 (t) . Le système est considéré comme linéaire si l’excitation [ae¿¿1 (t )+be2(t )]¿ produit la réponse[as¿¿1(t )+bs2 (t)]¿. Figure 2.2. Principe de superposition Par contre, un système qui ne subit pas à ce principe est désigné come étant un système non linéaire. Lorsque le système est non linéaire, une faible variation de l’entrée peut produire une forte variation de la sortie tandis qu’une forte excitation à l’entrée engendre une faible variation de cette dernière [3]. 38 Chapitre 2 Concepts de base Système déterministe et système stochastique Un système peut être aussi classifié comme déterministe ou stochastique. Le système est dit déterministe si son état actuel (à l’instant t n¿est déterminé à partir de son état précédent (à l’instantt n−1¿. Autrement dit, dans le cas d’un système déterministe, lorsqu’on sait les valeurs des variables d’état ainsi les interactions entre ces variables à l’instant t n , on peut déterminer l’état du système à l’instantt n+1. Ceci implique que lorsqu’on connait l’état initial (à l’instantt 0¿, on peut déterminer l’état du système à tout instantt . Contrairement au système déterministe, un système stochastique (aléatoire) est un système dont son état suivant ne peut pas être déterminé à partir des états précédents. 4. Espace des phases Définition L’espace des phases est un espace mathématique. L’état du système est représenté par un point unique dans cet espace. Autrement dit, l’état du système à l’instant t est représenté par un vecteur qui contient les valeurs des variables d’état à cet instant. Si Dvariables d’état sont utilisées pour décrire le système alors ce dernièr est représenté dans un espace euclidien R D. Puisque l’état du système évolue au cours du temps, les états possibles d’un système seront représentés par un ensemble des points dans cet espace. Dans l’exemple cité dans le paragraphe précédent, nous avons dit que le système masse ressort peut être représenté par deux variables d’état : la position de la masse et sa vitesse. Notre espace des phases serait donc un espace euclidien R 2(figure 2.3-b). Le premier axe de cet espace représente les variations de la position de la masse tandis que le deuxième axe représente l’évolution de sa vitesse. Un autre exemple d’un système dynamique est le circuit de Chua (Fig 1.4). On note par V 1,V 2 et I la tension aux bornes de la capacitéC1, la tension aux bornes de la capacité C2 et le courant traversant l’inductance L, respectivement. En utilisant la loi des nœuds, on obtient trois équations différentielles décrivant ce circuit (Eq 1.7) : 39 Analyse non linéaire des intervalles ECG en vue d’une reconnaissance des signatures pathologiques { C1 d V 1 dt =(V 1−V 2) R −f (V 1) C2 d V 2 dt =−(V 1−V 2) R +I L dI dt =−rI−V 2 (2.7) f (V 1) est une fonction qui représente le courant circulant dans la partie du circuit située à droite de la capacitéC1. Selon [5] et [6], le modèle du circuit de Chua peut être simplifié en écrivant l’équation 1.8 sous la forme suivante : { ˙ x=α ( y−x)−α f (x) ˙ y=( x−y+z ) ˙ z=−(βy+γz) (2.8) Avec { ˙ x=d V 1 dt ˙ y=dV 2 dt ˙ z=dI dt (2.9) La fonction 1 f (x) peut s’écrire sous la forme [6] : f (x )=m1 x+ 1 2 (m0−m1) (|x+1|−|x−1|)+ 1 2 (s−m0)(|x+δ 0|−|x−δ 0|) (2.10) Cette fonction caractérise la partie non linéaire du circuit de Chua (diode de Chua). α , β , γ , m0 et m1 représentent les paramètre du circuit classique de Chua [4] tandis que δ 0 et s sont deux paramètres utilisés par Leonov et al. [7] afin d’assurer la stabilité de l’équilibre du système au tour du zéro. 1 En effet la fonctionf (x )=m1 x+ 1 2 (m0−m1) (|x+1|−|x−1|). Le terme 1 2 (s−m0)(|x+δ0|−|x−δ0|) a été ajouté par Leonov et al [7] afin d’assurer la stabilité de l’équilibre du système au tour du zéro. 40 Chapitre 2 Concepts de base La figure 2.5 montre l’espace de phases de l’oscillateur de Chua en prenant comme condition initiale V 1 (0)=0.1,V 2 (0)=0.15 et I (0 )=0.05 en faisant varier à chaque fois les paramètres du circuit α , uploads/Philosophie/ chapitre-b.pdf