c ⃝Christophe Bertault - MPSI Raisonner, rédiger Ce chapitre d’ouverture a quat

c ⃝Christophe Bertault - MPSI Raisonner, rédiger Ce chapitre d’ouverture a quatre objectifs : – vous apprendre ou vous rappeler les règles de base de la « grammaire » mathématique, – vous apprendre ou vous rappeler quelques rudiments de théorie des ensembles, – vous apprendre ou vous rappeler les raisonnements de base utilisés en mathématiques, – vous convaincre qu’il est essentiel de savoir rédiger : un peu pour « faire joli », mais surtout pour bien penser. 1 Connecteurs logiques • Nous appellerons proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question : « p est-elle vraie ? » La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions, mais par exemple, « Dis-le-moi ! », « Bonjour » ou « Comment vas-tu ? » n’en sont pas : la question « Est-il vrai que bonjour ? » n’a aucun sens. • La valeur de vérité d’une proposition est soit le vrai (V), soit le faux (F). Deux propositions qui ont la même valeur de vérité sont dites équivalentes : elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses. Quand vous devez démontrer une proposition p, vous n’êtes pas obligés de démontrer p elle-même : il suffit que vous démontriez n’importe quelle proposition équivalente. Exemple « Socrate n’est pas immortel » et « Socrate est mortel » sont deux propositions équivalentes. Démontrer l’une, c’est démontrer l’autre. • A partir des propositions « J’ai faim » et « J’ai soif », on peut construire une nouvelle proposition « J’ai faim et (j’ai) soif ». Plus généralement, nous appellerons connecteur logique tout procédé de construction d’une proposition à partir d’une ou plusieurs autres propositions. Exemples courants : « et », « ou », « si, alors », « parce que ». . . • Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d’une proposition construite à l’aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction. Pour savoir, par exemple, si la proposition « p et q » est vraie, on n’a pas besoin de savoir exactement ce que cachent p et q, leur signification. Seules leurs valeurs de vérité respectives importent : si les deux sont vraies, « p et q » est vraie ; si l’une est fausse, « p et q » est fausse. En mathématiques, les connecteurs logiques sont tous vérifonctionnels. L’intérêt de tels connecteurs réside dans la facilité avec laquelle on peut les définir : au moyen d’un simple tableau appelé table de vérité. p V V F F q V F V F p et q V F F F • Pour votre culture, remarquez bien que certains connecteurs logiques ne sont pas vérifonctionnels. C’est le cas du connecteur « parce que ». Imaginez un contexte dans lequel il est vrai que « Je me suis dépêché parce que j’étais en retard ». Les deux propositions « Je suis en retard » et « Je me suis dépêché » sont vraies. Pourtant, si on remplace « J’étais en retard » par « La glace est un solide » — proposition également vraie — la nouvelle proposition « Je me suis dépêché parce que la glace est un solide » est fausse. Si « parce que » était vérifonctionnel, cette proposition serait aussi vraie que celle dont nous sommes partis. 1.1 Négation non, conjonction et, disjonction ou Définition (Négation, conjonction, disjonction) • La proposition « non p » est vraie si p est fausse, et fausse si p est vraie. • La proposition « p et q » est vraie si p et q sont vraies toutes les deux, et fausse sinon. • La proposition « p ou q » est vraie si l’une au moins des pro- positions p et q est vraie (éventuellement les deux, donc), et fausse dans le seul cas où p et q sont fausses toutes les deux. p V F non p F V p V V F F q V F V F p et q V F F F p ou q V V V F $ $ $ Attention ! Dans le langage usuel, « ou » oppose parfois les termes qu’il connecte. Dans l’expression « fromage ou dessert », « ou » est exclusif car il exclut la possibilité qu’on choisisse les deux (fromage et dessert). En mathématiques, « ou » est toujours inclusif : « p ou q » est vraie même quand p et q sont vraies. 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Théorème (Double négation, négation d’une conjonction/disjonction) • Les propositions p et « non (non p) » sont équivalentes. • Les propositions « non (p et q) » et « (non p) ou (non q) » sont équivalentes. • Les propositions « non (p ou q) » et « (non p) et (non q) » sont équivalentes. Démonstration p V F non p F V non (non p) V F Colonnes identiques p V V F F q V F V F non p F F V V non q F V F V p et q V F F F non (p et q) F V V V (non p) ou (non q) F V V V p ou q V V V F non (p ou q) F F F V (non p) et (non q) F F F V Colonnes identiques Colonnes identiques Exemple « Dis-moi, tu aimes la vanille ou le chocolat, n’est-ce pas ? | {z } Est-il vrai que p ou q ? » « Ah non, ni l’un ni l’autre. | {z } Non, (non p) et (non q) » 1.2 Implication = ⇒, équivalence ⇐ ⇒ Définition (Implication, équivalence) • La proposition « p = ⇒q », qu’on lit « p implique q » ou « si p, alors q », est fausse dans le seul cas où p est vraie et q fausse. On appelle p son antécédent et q son conséquent. • La proposition « p ⇐ ⇒q », qu’on lit « p si et seulement si q » ou « p et q sont équivalentes », est vraie si p et q ont la même valeur de vérité, et fausse sinon. p V V F F q V F V F p = ⇒q V F V V p ⇐ ⇒q V F F V    Explication Un petit point de vocabulaire. • On dit que q est une condition nécessaire pour que p soit vraie si lorsque p est vraie, q l’est aussi nécessairement, forcément, obligatoirement, autrement dit si l’implication « p = ⇒q » est vraie. • On dit que q est une condition suffisante pour que p soit vraie s’il suffit que q soit vraie pour que p le soit aussi, autrement dit si l’implication « q = ⇒p » est vraie — et non pas « p = ⇒q » ! $ $ $ Attention ! • Affirmer que « p = ⇒q » est vraie n’implique ni que p est vraie, ni que q est vraie. Il est vrai que « Si Pinocchio est Président de la République, alors il est chef des armées », mais en réalité Pinocchio n’est pas plus Président de la République qu’il n’est chef des armées. • Une implication « p = ⇒q » peut être vraie alors que p et q n’ont rien de commun, car après tout seules leurs valeurs de vérité comptent — vérifonctionnalité oblige. Par exemple il est vrai que « Si 0 = 0, alors les oiseaux ont des plumes ». Il en résulte, au contraire de ce que vous croyez sans doute, que l’implication n’a rien à voir avec la causalité du connecteur « parce que ». Dans « p = ⇒q », p n’est pas la cause de q, pas du tout. La proposition « S’il y a de la fumée, alors il y a du feu » est vraie, par exemple, et pourtant c’est le feu la cause et la fumée l’effet. • L’implication « p = ⇒q » est toujours vraie quand p est fausse. Par exemple il est vrai que « Si 0 ̸= 0, alors 0 = 0 ».    Explication Les exemples précédents peuvent donner l’impression légitime que l’implication a été mal définie ci-dessus, et pourtant non. Avions-nous le choix en réalité ? Seules les deux dernières lignes « p est fausse » de la table de vérité de l’implication nous dérangent. Le tableau ci-dessous montre que tout autre choix pour ces lignes nous aurait ramené à un autre connecteur de sens différent. p V V F F q V F V F p = ⇒q V F V V q V F V F p ⇐ ⇒q V F F V p et q V F F F 2 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Définition (Contraposée, réciproque) • On appelle réciproque de l’implication « p = ⇒q » la proposition « q = ⇒p ». • On appelle contraposée uploads/Philosophie/ cours-raisonner-rediger-1.pdf

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