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1 Ano KOUADJO Ano KOUADJO Enseignant – Chercheur à l’ESATIC Email: ano.kouadjo@

1 Ano KOUADJO Ano KOUADJO Enseignant – Chercheur à l’ESATIC Email: ano.kouadjo@esatic.edu.ci Cel: +22557140002 / +22554265829 ELECTRONIQUE NUMERIQUE Cours destiné aux étudiants en Licence 1 SRIT/RTEL/SIGL 2019-2020 Ano KOUADJO 2 CHAPITRE 2 Algèbre de Boole Ano KOUADJO 3 Plan du chapitre Objectif du chapitre Opérateurs de l’algèbre de Boole Théorèmes de l’algèbre de Boole Représentation d’une fonction logique Simplification des expressions logiques Ano KOUADJO 4 Objectif du chapitre Pour étudier d’une manière systématique les circuits numériques, on utilise une algèbre différente de l’algèbre classique, dite algèbre de Boole, du nom du mathématicien anglais, inventeur de ce concept (George Boole 1815-1864). Nous proposons dans ce chapitre les lois, règles et théorèmes de l’algèbre de Boole, nécessaires et suffisants pour la compréhension du fonctionnement de ces circuits numériques. Nous étudierons également la simplification des expressions booléennes en utilisant les règles de l’algèbre de Boole et les diagrammes de Karnaugh Ano KOUADJO 5 Introduction Les machines numériques sont constituées d’un ensemble de circuits électroniques. Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée ( addition, comparaison ,….). La fonction F(A,B) peut être : la somme de A et B , ou le résultat de la comparaison de A et B ou une autre fonction. Circuit A F(A,B) B Pour concevoir et réaliser ce circuit on doit avoir un modèle mathématique de la fonction réalisée par ce circuit. Ce modèle doit prendre en considération le système binaire. Le modèle mathématique utilisé est celui de Boole. Ano KOUADJO 6 George Boole est un mathématicien anglais ( 1815-1864). Il a fait des travaux dans lesquels les fonctions( expressions) sont constitués par des variables qui peuvent prendre les valeurs ‘OUI’ ou ‘NON’ . Ces travaux ont été utilisés pour faire l’étude des systèmes qui possèdent deux états qui s’exclus mutuellement : • Le système peut être uniquement dans deux états E1 et E2 tel que E1 est l’opposé de E2. • Le système ne peut pas être dans l’état E1 et E2 en même temps Ces travaux sont bien adaptés au Système binaire ( 0 et 1 ). Introduction Ano KOUADJO 7 • Un interrupteur est ouvert ou non ouvert ( fermé ) • Une lampe est allumée ou non allumée ( éteinte ) • Une porte est ouverte ou non ouverte ( fermée ) •Remarque : On peut utiliser les conventions suivantes : OUI VRAI ( true ) NON FAUX ( false) OUI 1 ( Niveau Haut ) NON 0 ( Niveau Bas )  Exemple de systèmes à deux états Ano KOUADJO 8 Définitions et conventions Niveau logique : Lorsqu’on fait l’étude d’un système logique il faut bien préciser le niveau du travail. Niveau Logique positive Logique négative H ( Hight ) haut 1 0 L ( Low ) bas 0 1 Exemple : Logique positive : lampe allumée : 1 lampe éteinte : 0 Logique négative lampe allumée : 0 lampe éteinte : 1 Ano KOUADJO 9 Variable logique ( booléenne ) • Une variable logique ( booléenne ) est une variable qui peut prendre soit la valeur 0 ou 1 . • Généralement elle est exprimée par un seul caractère alphabétique en majuscule ( A , B, S , …) • Exemple : Une lampe : allumée L = 1 éteinte L = 0 • interrupteur ouvert : I =1 fermé : I =0 Ano KOUADJO 10 Fonction logique • C’est une fonction qui relie N variables logiques avec un ensemble d’opérateurs logiques de base. • Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de base : – Le produit logique, dit aussi ET. Le symbole de cette opération est (.) – L’addition logique, dite aussi OU. Le symbole de cette opération est (+). – L’inverse logique, dite aussi NON. Le symbole de cette • opération est (--). Ano KOUADJO 11 La valeur d’une fonction logique est égale à 1 ou 0 selon les valeurs des variables logiques. Si une fonction logique possède N variables logiques  2n combinaisons la fonction possède 2n valeurs. Les 2n combinaisons sont représentées dans une table qui s’appelle table de vérité ( TV ). Fonction logique Ano KOUADJO 12 Exemple d’une fonction logique C B A C B A C B A C B A C B A F . . . . . . . . ) , , ( + + + = 1 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 ) 1 , 1 , 1 ( 0 0 . 1 . 1 0 . 1 . 1 0 . 1 . 1 0 . 1 . 1 ) 0 , 1 , 1 ( 1 1 . 0 . 1 1 . 0 . 1 1 . 0 . 1 1 . 0 . 1 ) 1 , 0 , 1 ( 0 0 . 0 . 1 0 . 0 . 1 0 . 0 . 1 0 . 0 . 1 ) 0 , 0 , 1 ( 1 1 . 1 . 0 1 . 1 . 0 1 . 1 . 0 1 . 1 . 0 ) 1 , 1 , 0 ( 0 0 . 1 . 0 0 . 1 . 0 0 . 1 . 0 0 . 1 . 0 ) 0 , 1 , 0 ( 1 1 . 0 . 0 1 . 0 . 0 1 . 0 . 0 1 . 0 . 0 ) 1 , 0 , 0 ( 0 0 . 0 . 0 0 . 0 . 0 0 . 0 . 0 0 . 0 . 0 ) 0 , 0 , 0 ( = + + + = = + + + = = + + + = = + + + = = + + + = = + + + = = + + + = = + + + = F F F F F F F F A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 La fonction possède 3 variables 23 combinaisons Une table de vérité Ano KOUADJO 13 Logigramme • Un logigramme est un schéma illustrant l’expression d’une fonction logique sans tenir compte des constituants technologiques. Ano KOUADJO 14 Opérateurs de l’algèbre de Boole Operateur ET « AND » Ano KOUADJO 15 Operateur OU « OR » Ano KOUADJO 16 Operateur inverseur Ano KOUADJO 17 Operateur NON ET « NAND » • La fonction NON-ET (NAND en anglais) est un opérateur logique de l'algèbre de Boole. À deux opérandes, qui peuvent avoir chacun la valeur VRAI ou FAUX, il associe un résultat qui a lui-même la valeur VRAI seulement si au moins l'un des deux opérandes a la valeur FAUX. Entrées Sortie a b L 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ano KOUADJO 18 Operateur NON ET « NAND » • NON • OU Ano KOUADJO 19 Operateur NON ET « NAND » • ET Ano KOUADJO 20 Operateur Non OU « NOR » • La fonction NON-OU (NOR en anglais) est un opérateur logique de l'algèbre de Boole. À deux opérandes, qui peuvent avoir chacun la valeur VRAI ou FAUX, il associe un résultat qui a lui-même la valeur VRAI seulement si les deux opérandes ont la valeur FAUX. • Cette fonction logique correspond aux mots français ni... ni, car la phrase ni A ni B est vrai seulement si les phrases A et B sont tous les deux faux. Ano KOUADJO 21 Operateur NON OU « NOR » • NON • ET Ano KOUADJO 22 Operateur NON OU « NOR » • OU Ano KOUADJO 23 OU exclusif (XOR) • La fonction OU exclusif, souvent appelée XOR (eXclusive OR) ou disjonction exclusive, est un opérateur logique de l'algèbre de Boole. À deux opérandes, qui peuvent avoir chacun la valeur VRAI ou FAUX, il associe un résultat qui a lui-même la valeur VRAI seulement si les deux opérandes ont des valeurs distinctes. •Cet opérateur est très utilisé en électronique, en informatique, et aussi en cryptographie du fait de ses propriétés intéressantes. Son symbole est traditionnellement un signe "PLUS" dans un cercle : « ⊕», et parfois "FOIS" dans un cercle : « ⊗». Ano KOUADJO 24 OU exclusif (XOR) • Appelons A et B les deux opérandes considérés. Convenons de représenter leur valeur ainsi : • 1 = VRAI 0 = FAUX • L'opérateur XOR est défini par sa table de vérité, qui indique pour toutes les valeurs possibles de A et B la valeur du résultat R : Table de vérité de XOR A B R = A ⊕ B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ano KOUADJO 25 ET inclusif (XNOR) • En informatique, l'opérateur logique ET inclusif appelé également Coïncidence (ou équivalence logique) ainsi que NON-OU exclusif peut se définir par la phrase uploads/Philosophie/ cours-eln-num-ch2.pdf