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1 Programme Alg1 1. Eléments de Logique Alg1 2. Eléments de la théorie des Ense

1 Programme Alg1 1. Eléments de Logique Alg1 2. Eléments de la théorie des Ensembles Alg1 3. Relations binaires Alg1 4. Structures Algébriques Alg1 5. Les ensembles de Nombres Alg1 6. Polynômes et fractions rationnelles Le Cours de Mathématiques. -2- Par M. Mechab Table des matières 1 ELÉMENTS DE LOGIQUE 5 1.1 Propositions logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Opérations et connecteurs Logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 La négation ⌉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 La Conjonction ∧. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 La Disjonction ∨. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 La Disjonction exclusive ⊕. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5 Règles de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.6 L’implication = ⇒. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.7 La contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.8 Décomposition de l’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.9 La réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Quelques propriétés des opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Le Cours de Mathématiques. -3- Par M. Mechab TABLE DES MATIÈRES Le Cours de Mathématiques. -4- Par M. Mechab Chapitre1 ELÉMENTS DE LOGIQUE 1.1 Propositions logiques Dans ce chapitre on se limitera à l’introduction des premiers éléments de la logique classique, ou logique mathématique. Déﬁnition 1.1 On appelle proposition logique toute relation, ou assertion 1, P qui est soit vraie soit fausse 2. • Quand la proposition est vraie, on lui aﬀecte la valeur 1 • Quand la proposition est fausse, on lui aﬀecte la valeur 0. Ces valeurs sont appelées “Valeurs de vérité de la proposition”. Exemple 1.1 1. “L’Algérie est un pays africain” est une proposition Vraie 2. “Alger est la capital du Brésil” est une proposition Fausse. Ainsi, pour déﬁnir une proposition logique, il suﬃt de donner ses valeurs de vérités. En général, on met ces valeurs dans un tableau qu’on appelle “Table de vérités” ou “Tableau de vérités”. Remarque 1.1 Pour déﬁnir une proposition logique P, il suﬃt de donner les situations où elle est Vraie, pour le reste des situations la proposition P étant Fausse. Inversement, si on connaît les situa- tions où P est Fausse, dans le reste des situations P est Vraie. L’Equivalence ⇐ ⇒: Déﬁnition 1.2 On dit que deux propositions logiques P et Q sont logiquement équivalentes, ou équivalentes, si elles ont les mêmes valeurs de vérité. On note : P ⇐ ⇒Q 3. La table de vérités de la proposition (P ⇐ ⇒Q) est donnée par : 1. Une assertion déclarée vraie est appelée Axiome. 2. Le fait qu’une proposition ne peut prendre que la valeur 0 ou la valeur 1 transcrit un principe fondamental de la logique “classique” qui est : Le principe du tiers exclu. 3. On note aussi P ≡Q. Le Cours de Mathématiques. -5- Par M. Mechab ELÉMENTS DE LOGIQUE P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 (P ⇐ ⇒Q) 1 0 0 1 Il est claire que : Proposition 1.1 Si O, P et Q sont trois propositions logiques telles que O est équivalente à P et P équivalente à Q, alors O est équivalente à Q . On dit que “l’équivalence est transitive” 1.2 Opérations et connecteurs Logiques Dans la pratique, étant données une ou plusieurs propositions logiques on déﬁnit des opérations sur ces dernières pour déﬁnir d’autres propositions. 1.2.1 La négation ⌉ Déﬁnition 1.3 Etant donnée une proposition logique P, on appelle négation de P la proposition logique P, qu’on note aussi ⌉P, qui est vraie quand P est fausse. Donc on peut représenter ⌉P comme suit : P 0 1 P 1 0 Propriété 1.1 Etant données deux propositions logiques P et Q, alors : 1. P ⇐ ⇒P, c’est à dire la négation de la négation d’une proposition P est équivalente à P. 2. (P ⇐ ⇒Q) ⇐ ⇒(P ⇐ ⇒Q). Preuve. On montrera ces propriétés en utilisant des tables de vérités. 1. D après la déﬁnition de la négation, on a : P 0 1 P 1 0 P 0 1 On voit que P et P ont les mêmes valeurs de vérités, donc P ⇐ ⇒P 2. En fonction des valeurs de vérité de P et Q, quatre situations, on donne les valeurs de vérité des propositions (P ⇐ ⇒Q) et P ⇐ ⇒Q , donc : P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ⇐ ⇒Q 1 0 0 1 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P ⇐ ⇒Q 1 0 0 1 d’où on déduit que : (P ⇐ ⇒Q) ⇐ ⇒ P ⇐ ⇒Q Le Cours de Mathématiques. -6- Par M. Mechab M. Mechab 1.2 Opérations et connecteurs Logiques 1.2.2 La Conjonction ∧ Déﬁnition 1.4 Etant données deux propositions logiques P et Q, on appelle conjonction de P et Q, la proposition logique P ∧Q qui est Vraie quand P et Q sont vraies à la fois. Sa table de vérités est donnée par : Q \ P 0 1 0 0 0 1 0 1 ou P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ∧Q 0 0 0 1 Propriété 1.2 Soit P une proposition logique, alors P ∧¯ P est une proposition fausse. Preuve. D’après la table de vérités suivante : P 0 1 ¯ P 1 0 P ∧¯ P 0 0 on remarque que (P ∧P) est une proposition fausse. 2 1.2.3 La Disjonction ∨ Déﬁnition 1.5 Etant données deux propositions logiques P et Q, on appelle disjonction de P et Q, la proposition logique P ∨Q qui est Vraie si au moins une des propositions P ou Q est vraie. Sa table de vérités est donnée par : Q \ P 0 1 0 0 1 1 1 1 ou P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ∨Q 0 1 1 1 Propriété 1.3 Soit P une proposition logique, alors P ∨¯ P est une proposition vraie. Preuve : En utilisant la déﬁnition de la conjonction on obtient la table de vérités suivante : P 0 1 ¯ P 1 0 P ∨¯ P 1 1 où on voit que de P ∨¯ P est toujours vraie. 2 Remarque 1.2 La conjonction est appelée le et logique et la disjonction le ou logique. 1.2.4 La Disjonction exclusive ⊕ Déﬁnition 1.6 On appelle disjonction exclusive de P et Q, la proposition P ⊕Q qui est vraie quand seulement une des deux propositions est vraie. Sa table de vérités est donnée par : Q \ P 0 1 0 0 1 1 1 0 ou P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ⊕Q 0 1 1 0 Le Cours de Mathématiques. -7- Par uploads/Philosophie/ elements-de-logique.pdf