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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE Nous étudierons ce chapitre en parallèle de l’annexe « Raisonner, rédiger » qui, en dépit de ce statut, est sans doute le texte mathématique le plus important de l’année. 1 CONNECTEURS LOGIQUES ET QUANTIFICATEURS On appelle proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question : « p est-elle vraie ? » La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions, mais par exemple : « Dis-le-moi ! », « Bonjour » ou « Comment vas-tu ? » n’en sont pas, la question : « Est-il vrai que bonjour ? » n’a aucun sens. La valeur de vérité d’une proposition est le vrai ou le faux — mais pas les deux. Deux propositions de même valeur de vérité sont dites équivalentes. Pour démontrer une proposition p, vous n’êtes pas obligés de démontrer p elle-même, vous pouvez démontrer n’importe quelle proposition équivalente. Par exemple, démontrer que : « Socrate n’est pas immortel », c’est pareil que démontrer que : « Socrate est mortel ». À partir des propositions : « J’ai faim » et : « J’ai soif », on peut construire une nouvelle proposition : « J’ai faim ET (j’ai) soif ». Plus généralement, nous appellerons connecteur logique tout procédé de construction d’une proposition à partir d’une ou de plusieurs autres propositions. Exemples courants : « et », « ou », « si, alors », « parce que »... Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d’une proposition construite à l’aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction. Pour savoir, par exemple, si la proposition : p et q est vraie, on n’a pas besoin de savoir exactement ce que cachent p et q — leur signiﬁcation — on a juste besoin de connaître leurs valeurs de vérité respectives. Si les deux sont vraies, la proposition : p et q est vraie, et sinon elle est fausse. En mathématiques, les connecteurs logiques utilisés sont tous vérifonctionnels. Pour votre culture, remarquez bien que certains connecteurs logiques ne sont pas vérifonctionnels. C’est le cas du connec- teur « parce que ». Imaginez un contexte dans lequel il est vrai que : « Je me suis dépêché parce que j’étais en retard ». Les deux propositions : « Je suis en retard » et « Je me suis dépêché » sont vraies. Pourtant, si on remplace : « J’étais en retard » par : « La glace est un solide » — proposition également vraie — la nouvelle proposition : « Je me suis dépêché parce que la glace est un solide » est fausse. Or, si « parce que » était vérifonctionnel, cette proposition serait aussi vraie que celle dont nous sommes partis. En résumé, la relation de causalité dont « parce que » porte le témoignage échappe complètement aux mathématiques. 1.1 NÉGATION, CONJONCTION, DISJONCTION Déﬁnition (Négation, conjonction, disjonction) • Négation : La proposition : non p est vraie si p est fausse et fausse si p est vraie. • Conjonction : La proposition : p et q est vraie si p et q sont vraies toutes les deux et fausse sinon. • Disjonction : La proposition : p ou q est vraie si l’une AU MOINS des propositions p et q est vraie, éventuel- lement les deux, et fausse dans le seul cas où p et q sont fausses toutes les deux. $ Attention ! Dans le langage usuel, « ou » oppose parfois les termes qu’il relie. Dans l’expression : « fromage ou dessert » des restaurants, « ou » est exclusif car il exclut la possibilité qu’on choisisse les deux — vous pouvez toujours essayer ! En mathématiques, « ou » est toujours inclusif, la proposition : p ou q est vraie même quand p ET q sont vraies. On a interdit depuis le début qu’une proposition soit à la fois vraie et fausse, mais interdit aussi qu’une proposition soit autre chose que vraie ou fausse. Ces deux principes s’appellent le principe de non-contradiction et le principe du tiers exclu. 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Il est ensuite important de savoir nier une conjonction ou une disjonction. Dire que : p et q est vraie, c’est dire que les deux propositions p et q sont vraies. Afﬁrmer le contraire revient donc à dire que l’une des propositions est fausse, i.e. à afﬁrmer que la proposition : (non p) ou (non q) est vraie. De même, dire que : p ou q est vraie, c’est dire que l’une des propositions p et q est vraie. Afﬁrmer le contraire revient donc à dire que les deux propositions sont fausses, i.e. à afﬁrmer que la proposition : (non p) et (non q) est vraie. Théorème (Règles de calcul sur la négation, la conjonction et la disjonction) • Principe de non-contradiction : La proposition : p et (non p) est fausse. Toute proposition de cette forme est appelée une contradiction. • Principe du tiers exclu : La proposition : p ou (non p) est vraie. • Double négation : Les propositions p et : non (non p) sont équivalentes. • Négation d’une conjonction : Les propositions : non (p et q) et : (non p) ou (non q) sont équivalentes. • Négation d’une disjonction : Les propositions : non (p ou q) et : (non p) et (non q) sont équivalentes. Exemple « On n’a qu’à prendre un pot de vanille et un pot de chocolat, je suppose que p ou q z }| { tu aimes l’un des deux parfums ? » « Justement non, je n’aime ni l’un ni l’autre | {z } Négation : (non p) et (non q) . » 1.2 IMPLICATION, ÉQUIVALENCE Quand on dit qu’une proposition p en implique une autre q, la seule chose qu’on afﬁrme, c’est que si p est vraie, q l’est FORCÉMENT, NÉCESSAIREMENT, OBLIGATOIREMENT. Dire que l’implication est fausse revient donc à dire que le passage de p à q n’est PAS SYSTÉMATIQUE, i.e. que p est vraie sans que q le soit. Dans toute autre situation, l’implication est vraie. Déﬁnition (Implication, équivalence) • Implication : La proposition : p =⇒q, qu’on lit : « p implique q » ou : « si p, alors q », est fausse dans le seul cas où p est vraie et q fausse. On appelle p son antécédent et q son conséquent. • Équivalence : La proposition : p ⇐⇒q, qu’on lit : « p si et seulement si q » ou « p et q sont équivalentes », est vraie si p et q ont la même valeur de vérité, et fausse sinon. Un petit point de vocabulaire. — On dit que q est une condition nécessaire pour que p soit vraie si, lorsque p est vraie, q l’est aussi nécessairement — autrement dit si l’implication : p =⇒q est vraie. — On dit que q est une condition sufﬁsante pour que p soit vraie s’il sufﬁt que q soit vraie pour que p le soit aussi — autrement dit si l’implication : q =⇒p est vraie. $ Attention ! • Afﬁrmer que l’implication : p =⇒q est vraie n’implique ni que p est vraie, ni que q est vraie. Il est parfaitement vrai que : « Si Pinocchio est président de la République, alors il est chef des armées », et pourtant Pinocchio n’est pas plus président de la République qu’il n’est chef des armées. • Une implication : p =⇒q peut être vraie alors que p et q n’ont rien de commun, car après tout seules leurs valeurs de vérité comptent — vérifonctionnalité oblige. Par exemple, il est vrai que : « Si 0 = 0, alors les oiseaux ont des plumes ». Il en résulte, au contraire de ce que vous croyez sans doute, que l’implication n’a rien à voir avec la causalité du connecteur « parce que ». Dans : p =⇒q, p n’est pas la cause de q, pas du tout. La proposition : « S’il y a de la fumée, alors il y a du feu » est vraie, par exemple, et pourtant c’est le feu la cause et la fumée l’effet. • L’implication : p =⇒q est toujours vraie quand p est fausse. Par exemple : « Si 0 ̸= 0, alors 0 = 0 », ce qui choque souvent les débutants. Est-ce si choquant cela dit ? Tout le monde accepte la proposition : « Pour tout x ∈R, si x est un entier naturel, alors x est positif », et pourtant le réel x y est quelconque. L’implication est toujours vraie, mais selon la valeur de x, elle est du type « vrai =⇒vrai » (x ∈N), « faux =⇒vrai » (x ∈R+ \N) ou « faux =⇒faux » (x ∈R∗ −). 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Déﬁnition (Réciproque, contraposée) • Réciproque : On appelle réciproque de l’implication : p =⇒q la proposition uploads/Philosophie/ cours-rudiments-de-logique-et-vocabulaire-ensembliste 1 .pdf