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M ?ecanique - Vecteurs et cin ?ematique Exercice corrig ?e Fonctionnement d ? une fronde L Le Marrec IRMAR loic lemarrec univ-rennes fr September Sujet correction au verso Lorsqu ? on utilise une fronde on fait cro tre la vitesse de rotation au cours du temps jusqu ? a ce qu ? elle atteigne une valeur constante Une fronde a une longueur r d ? environ m la vitesse de rotation g ?en ?eralement admise est de tours s Pour ?etudier ce principe on suppose pour l ? instant que l ? angle de rotation est une fonction quelconque du temps t et l ? on d ?ecrit le probl eme en coordonn ?ees polaires Pour les variations en temps on utilisera la notation de Leibniz d dt et ? d d t Donnez l ? expression g ?en ?erale du vecteur position vitesse et acc ?el ?eration en fonction de Exprimez ces composantes si la vitesse angulaire est de la forme t On suppose que l ? on atteint tours s au bout de s en d ?eduire Combien de tours la fronde a-t-elle fait A quelle vitesse est eject ?ee la pierre si tours s CCorrection Lorsqu ? on utilise une fronde on fait cro tre la vitesse de rotation au cours du temps jusqu ? a ce qu ? elle atteigne une valeur constante Une fronde a une longueur r d ? environ m la vitesse de rotation g ?en ?eralement admise est de tours s Pour ?etudier ce principe on suppose pour l ? instant que l ? angle de rotation est une fonction quelconque du temps t et l ? on d ?ecrit le probl eme en coordonn ?ees polaires Pour les variations en temps on utilisera la notation de Leibniz d dt et ? d d t Donnez l ? expression g ?en ?erale du vecteur position vitesse et acc ?el ?eration en fonction de On a comme vecteur position r t rer Dans notre cas r est une constante mais le vecteur er change de direction en fonction de et donc au cours du temps Il est donc important de connaitre sa variation A cet e ?et on commence par exprimer les vecteurs er et e dans la base cart ?esienne er cos ex sin ey e ?? sin ex cos ey Comme cons par consid ?erer les variations de er et e quand change ? er ? ?? sin ex cos ey ? e ? ?? cos ex ?? sin ey Bref on trouve ? er ? e ? e ? ??er Cons ?eid ?erons maintenant les variations en fonction du temps Sachant que t on a ? er ? t ? ? t ? ? er ? e ? e ? t ? ? e ? t ? ?? er Nous sommes en mesure de calculer le vecteur vitesse v dr dt d rer dt r d er dt r e Mais aussi le vecteur position a dv dt d r