Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Licence Informatique 2ème année UFR Sciences et Techniques 2018–2019 Probabilit

Licence Informatique 2ème année UFR Sciences et Techniques 2018–2019 Probabilités élémentaires Jürgen Angst Notes de cours http://www.angst.fr 2 Table des matières I Éléments de théorie des probabilités 5 1 Le formalisme de la théorie des probabilités 7 1.1 Théorie des ensembles et dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Espace de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Exemples d’espaces de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Indépendance et conditionnement 25 2.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 La notion d’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Variables aléatoires 31 3.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Théorèmes limite fondamentaux 45 4.1 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Convergence de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Les théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 II Éléments de statistiques 59 5 Estimation et intervalle de conﬁance 61 5.1 Estimation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 Intervalles de conﬁance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6 Tests statistiques 69 6.1 Tests d’hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2 Test du χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7 Régression linéaire 79 7.1 Régression linéaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.2 Statisitique de la régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.3 Au dela du cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4 TABLE DES MATIÈRES Première partie Éléments de théorie des probabilités Chapitre 1 Le formalisme de la théorie des probabilités 1.1 Théorie des ensembles et dénombrement Avant toute chose, nous commençons par énoncer quelques rappels élémentaires de théorie des ensembles ainsi que de combinatoire (appelée aussi dénombrement) qui nous seront indispensables dans la suite. 1.1.1 Rappels de théorie des ensembles La notion d’ensemble est au coeur de l’axiomatique des mathématiques. Elle nous est familière puisqu’on l’utilise quotidiennement lorsque l’on parle de “l’ensemble des étudiants de la licence d’informatique”, “l’ensemble des mains possibles au poker”, qui sont deux ensembles ﬁnis, ou encore “l’ensemble des textes que l’on peut écrire en français” ou “l’ensemble de toutes les nuances de couleurs”, qui eux sont des ensembles inﬁnis. Cependant, la notion d’ensemble cache des subtilités / diﬃcultés importantes, comme l’a montré Russell au début du vingtième siècle avec son contre- exemple célèbre : l’ensemble de tous les ensembles n’est pas un ensemble. On déﬁnit informellement un ensemble comme une collection d’éléments : {0, 1}, {rouge, noir}, {0, 1, 2, 3, . . .} = N. Un ensemble joue un rôle particulier, l’ensemble vide, noté ∅, c’est l’ensemble qui ne contient aucun élément. On note x ∈E si x est un élément de E, et x / ∈E dans le cas contraire. On dit qu’un ensemble E est inclus dans un ensemble F et on note E ⊂F si tout élément de E est aussi un élément de F. On dit aussi que E est une partie de F. Deux ensembles E et F sont égaux, i.e. E = F si et seulement si E ⊂F et F ⊂E. On note P(E) l’ensemble des parties de E. Par exemple si E = {1, 2, 3} : P({1, 2, 3}) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} . Étant donnés deux ensembles A et B, on appelle l’union de A et B et on note A∪B l’ensemble formé des éléments qui appartiennent à l’ensemble A ou à l’ensemble B. 8 CHAPITRE 1. LE FORMALISME DE LA THÉORIE DES PROBABILITÉS On appelle intersection de A et B et on note A ∩B l’ensemble formé des éléments qui appartiennent à l’ensemble A et l’ensemble B. Si l’intersection de A et B est vide, i.e. A ∩B = ∅, on dit que les ensembles A et B sont disjoints. Dans ce cas, l’union de A et B est dite union disjointe, et l’on note A ⊔B. A ∪B A ∩B A B Figure 1.1 – Union et intersection de deux ensembles Soient A, B, C des parties d’un ensemble E, on a les règles de calcul suivantes : — A ∩B = B ∩A — A∩(B∩C) = (A∩B)∩C (on peut donc écrire A∩B∩C sans ambigüité) — A ∩∅= ∅, A ∩A = A, A ⊂B ⇐ ⇒A ∩B = A et — A ∪B = B ∪A — A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (on peut donc écrire A∪B∪C sans ambiguïté) — A ∪∅= A, A ∪A = A, A ⊂B ⇐ ⇒A ∪B = B. Par ailleurs, union et intersection se distribuent de la façon suivante (notez l’analogie avec la distributivité de + et ×) — A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C) — A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C). Plus généralement, étant donnés des ensembles (Ai)i∈I indexés par un ensemble d’indice I, on note ∪i∈IAi l’ensemble des éléments qui appartiennent à l’un des Ai et ∩i∈IAi l’ensemble des éléments qui appartiennent à tous les Ai, de sorte que — x ∈S i∈I Ai signiﬁe que x appartient à l’un des ensembles Ai ; — x ∈T i∈I Ai signiﬁe que x appartient à tous les ensembles Ai. Soient trois ensembles A, B et Ωtels que A ⊂Ωet B ⊂Ω. On appelle complémen- taire de A (dans Ω) et on note Ac l’ensemble des éléments de Ωqui ne sont pas dans A. On désigne par B privé de A et on note B\A, l’ensemble des éléments de B qui ne sont pas dans A, c’est-à-dire B ∩Ac. On a les règles de calcul suivantes : (A ∩B)c = Ac ∪Bc, (A ∪B)c = Ac ∩Bc. Plus généralement, si (Ai)i∈I est une famille d’ensembles inclus dans Ω, on a alors les relations : [ i∈I Ai !c = \ i∈I Ac i, \ i∈I Ai !c = [ i∈I Ac i. 1.1. THÉORIE DES ENSEMBLES ET DÉNOMBREMENT 9 Figure 1.2 – Soutraction de deux ensembles. Par exemple, si l’on considère les ensembles G et A des germanophones et des an- glophones dans la population francaise, le complémentaire de G ∩A est Gc ∪Ac, i.e. le contraire de “parler allemand et anglais” et “ne pas parler allemand ou ne pas parler anglais. Si E et F sont deux ensembles, le produit cartesien de E et F, noté E × F, est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈E et y ∈F. Dans le cas ou E = F, on note simplement E2 = E × E, et plus généralement En = E × . . . × E si le produit est réalisé n fois. Par exemple {0, 1}2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}, R2 = R × R = {(x, y), x, y ∈R}, [0,1]3 = {(x, y, z), 0 ≤x ≤1, 0 ≤y ≤1, 0 ≤z ≤1}. Exercice 1 : Soient A = {0, 1, 2} et uploads/Philosophie/ cours-2019.pdf