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Séries chronologiques (1/1) Chapitre 1 : Généralités sur les séries chronologiq

Séries chronologiques (1/1) Chapitre 1 : Généralités sur les séries chronologiques. I. Présentation d’une série chronologique. 1. Définition d’une série chronologique. Définition : On appelle série chronologique ou chronique une suite (Yt) d’observations chiffrées d’un même phénomène, ordonnées dans le temps. Notation : Une série chronologique est aussi appelée série temporelle ou chronique. Exemples : Nombre mensuel de vente de voitures neuves en France. Nombre annuel de naissance en France. Remarque : Les dates d’observations sont généralement ordonnées de manière régulière dans le temps : on manipule des séries journalières (cours d’une action en bourse) mensuelles (consommation mensuelle d’électricité) trimestrielles (nombre trimestriel de chômeurs) annuelles (chiffre annuel des bénéfices des exportations). Propriété caractéristique des séries chronologiques : Les données de ces séries ont un ordre : l’ordre chronologique. La donnée Y5 est antérieure aux données Y6 , Y10… Ce qui n’est pas le cas de toutes les séries que l’on peut étudier : Exemple : Recensement 2002 : série des âges des français, séries des salaires des français. 2. Les 2 repérages des données dans le temps. Les données d’une série chronologique trimestrielle, mensuelle, journalière sont • soit repérées à l’aide d’un seul indice t qui représente le nombre de mois entre la première observation et l’observation de la donnée en question + 1, (la 1re observation étant Y1) • soit repérées à l’aide de deux indices i et j, où i représente l’année de l’observation, j son « mois ». Le « mois » peut être un trimestre, un mois, un jour. On notera indifféremment la série (Yt) et (Yi,j). Florence NICOLAU 2005 - 2006 Séries chronologiques (2/2) Florence NICOLAU 2005 - 2006 Le lien qui existe entre Yt et Yi,j : Exemple : Soit une série trimestrielle. Y4,2 = 4370 donc 4370 = Yt avec t = (4 – 1)×4 + 2 = 14. Soit une série mensuelle. Y26 = 542 donc 542 = Yi,j or 26 = 2*12 + 2 donc i= 3, j =2. Si les données s’écoulent sur n années, et chaque année contient p mois alors l’observation du jme mois de la ime année Yi,j est également notée Yt avec t = (i – 1) × p + j. i prend les valeurs 1, 2, 3, … ,n. j prend les valeurs 1, 2, 3, … ,p. t prend les valeurs 1, 2, 3, … ,np Remarque : p = 4 pour série trimestrielle, p = 12 pour série mensuelle. Ces 2 modes de repérages donnent deux types de présentation des données et deux graphiques différents. 3. Les deux présentations d’une série chronologique. Une série chronologique est présentée soit sous la forme d’un tableau à deux colonnes, contenant np lignes : t Yt 1 2 . . np Y1 Y2 . . Ynp soit sous la forme d’un tableau contenant p colonnes et n lignes : une colonne par mois et une ligne par année. « Mois » 1 2 … j … p « Année » 1 2 . i . n y11 y21 yi1 yn1 y12 y22 yi2 yn2 … … … … y1j y2j yij ynj … … … … y1p y2p yip ynp Exemple : Considérons la série trimestrielle du chiffre d’affaires en milliers de francs des ventes d’un magasin de 1978 à 1982. t Yt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 2614 3010 2765 4856 3010 3397 3168 5624 3406 … Trim 1 j = 1 Trim2 j = 2 Trim 3 j = 3 Trim 4 j = 4 i = 1 i = 2 i = 3 1978 1979 1980 … 2614 3010 3406 3010 3397 … 2765 3168 4856 5624 tranp 1 doc p1 Séries chronologiques (3/3) Florence NICOLAU 2005 - 2006 4. Graphiques d’une série chronologique. a) a) Graphe de la série chronologique. Graphe de la série chronologique. On représente les points (t ; Yt), que l’on relie par des segments de droites. On représente l’évolution de la grandeur considérée sur l’ensemble de la période observée. b) b) Graphiques des courbes superposées. Graphiques des courbes superposées. On représente les points (j ; Yi,j) que l’on relie par des segments de droites, ceci pour chacune des années i. On représente ainsi l’évolution annuelle de la grandeur au cours des mois (pour chacune des années). On peut ainsi comparer le même mois j des différentes années, mais on ne voit pas l’évolution globale. Commentaire : On voit facilement sur ce graphique : que toutes les années se ressemblent, qu’il y a stagnation du chiffre d’affaire entre le 1er trimestre et le 3e ; puis augmentation au 4e, que le chiffre d’affaire augmente d’une année sur l’autre. Graphique de (Yt) 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1978 1979 1980 1981 1982 t Graphiques des courbes superposées 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4 "mois" "année" 1978 1979 1980 1981 1982 tranp 1 doc p1 tranp 1 doc p1 Séries chronologiques (4/4) II. Les 3 composantes d’une série chronologique. Le but de la décomposition d’une série chronologique est de distinguer dans l’évolution de la série, une tendance « générale », des variations saisonnières qui se répètent chaque année, et des variations accidentelles imprévisibles. L’intérêt de ceci est d’une part de mieux comprendre, de mieux décrire l’évolution de la série, et d’autre part de prévoir son évolution (à partir de la tendance et des variations saisonnières). tranp 2 1. La tendance : Ct. La tendance correspond à l’évolution à long terme de la série, l’évolution fondamentale de la série. Exemple : augmentation du chiffre d’affaire de 1978 à 1982. tranp 3 2. Les variations saisonnières : St. Les variations saisonnières sont des fluctuations périodiques à l’intérieur d’une année, et qui se reproduisent de façon plus ou moins permanente d’une année sur l’autre. Exemple : quasi stagnation entre le 1° et le 3° trimestre forte augmentation au 4° trimestre. Cela est facilement lisible sur le graphique des courbes superposées. Par contre la diminution entre le 4° trimestre et le 1° trimestre de l’année suivante est plus lisible sur le graphique de (Yt). Ces variations sont dues au rythme des saisons : matières premières, congés, … Deux principes : • Principe de répétition à l’identique : Les variations saisonnières sont périodiques de période p (nb de mois) : St+p = St. • Principe de conservation des aires : Par an, l’influence des variations saisonnières est nulle. Cela sera traduit à l’aide de la moyenne des St. On en reparlera lorsqu’on aura défini les modèles de composition. tranp 4 3. Les variations accidentelles ou résiduelles : εt. Les variations accidentelles sont des fluctuations irrégulières et imprévisibles. Elles sont supposées en général de faible amplitude. Elles proviennent de circonstances non prévisibles : catastrophes naturelles, crise boursière, grèves … Exemple : Les tempêtes de décembre 1999 seront à l’origine de variations accidentelles dans la série chronologique mensuelle de consommation d’électricité. Remarque : Dans l’étude de la série chronologique du prix du bois pendant les années 1990 à 2005, elles seront à l’origine de variations qui risquent de ne pas pouvoir être considérées de faible amplitude. On sera amené par exemple à couper la série en 2 : 1990-1999 et 2000-2005. Florence NICOLAU 2005 - 2006 Séries chronologiques (5/5) Florence NICOLAU 2005 - 2006 III. Les modèles de composition de ces 3 composantes. 1. Le modèle additif. Dans un modèle additif, on suppose que les 3 composantes : tendance, variations saisonnières et variations accidentelles sont indépendantes les unes des autres. On considère que la série Yt s’écrit comme la somme de ces 3 composantes : Yt = Ct + St + εt Graphiquement, l’amplitude des variations est constante autour de la tendance 2. Le modèle multiplicatif. a) a) 1° forme de modèle multiplicatif. 1° forme de modèle multiplicatif. On suppose que les variations saisonnières dépendent de la tendance. Et on considère que Yt s’écrit de la manière suivante : Yt = Ct × St + εt Graphiquement, l’amplitude des variations (saisonnières) varie. 0 50 100 150 200 250 300 1990 1991 1992 1993 1994 même amplitude 0 50 100 150 200 250 300 350 1990 1991 1992 1993 1994 amplitude croissante (comme la tendance) Les 2 droites tracées sont à peu près parallèles entre elles Les 2 droites tracées ne sont pas parallèles entre elles Séries chronologiques (6/6) Florence NICOLAU 2005 - 2006 tranp 4bis tranp 5 doc p1 tranp 6 doc p2 tranp 7 doc p2 b) ) 2° forme de modèle multiplicatif. b 2° forme de modèle multiplicatif. On suppose que les variations saisonnières et les variations accidentelles dépendent de la tendance. Et on considère que Yt s’écrit de la manière suivante : Yt = Ct × St × εt Remarques : Dans le cas d’une série (Yt) à valeurs positives, ce 2e modèle multiplicatif se ramène à un modèle additif en considérant la série (ln(Yt)) : ln(Yt) = ln(Ct) + ln(St) + ln(εt). La seule différence entre les 2 modèles multiplicatifs est uploads/Philosophie/ introduction-series-chronologiques-chapitre-1.pdf