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Monographie NO 15 de l’Enseignement Mathématique INTRODUCTION A LA THÉORIE DES

Monographie NO 15 de l’Enseignement Mathématique INTRODUCTION A LA THÉORIE DES ENSEMBLES ET A LA TOPOLOGIE par K. KURATOWSKI Monographies de l’Enseignement Mathématique 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Il. 12. 13. 14. La mesure des grandeurs (epuisé) par H. LEBESGUE Kombinatorische Geometrie in de,r Ebene par H. HADWIGER et H. DEBRUNNER Uber Jakob Bernoullis Beitrtïge zur Infïnitesimal-Mathematik von J.-E. HOFMANN Notices d’histoire des mathématiques par H. LEBESGUE L’analyse harmonique dans les groupes abéliens par J. BRACONNIER Introduction à la théorie des nombres par C. CHABAUTY, A. et F. CIIÂTELET, R. DESCOMBES, Ch. PISOT, G. POITOU Quelques problèmes de la théorie des nombres par Paul ERDOS Structures algébriques et s,tructures topologiques (épuisé) par H. CARTAN, G. (=HOQUET, J. DIXMIER, P. DUBREIL, R. GOT~EMENT, P. LELONG, L. LESIEUR, A. LICHNEROWICZ, C. PISOT, A. REVU~, L. SCHWARTZ, J.-P. SERRE Fonctions entières d’ordre fini et fonctions méromorphes par G. VALIRON L’arithmétique des corps quadratiques par A. CHÂTELET Problèmes de mesure par H. CARTAN, J. D~XMIER, P. DUBREIL, A. LICHNEROWICZ, A. REVUZ Differentialgeometrie und Topologie (Internationales Kolloquium, Zurich 1960) von R. BOTT, H. BUSEMANN, S. S. CHERN, B. ECKMANN, P. J. HILTON, F. HIRZEBRUCH, A. LICHNEROWICZ, J. MILNOR, N. E. STEENROD, R. THOM En marge du calcul des variations par H. LEBESGUE Une construction de la géométrie élémentaire fondée sur la notion de réflexion par A. DELESSERT La vie et l’œuvre d’Emile Bore1 par M. FRÉCHET INTRODUCTION A LA THÉORIE DES ENSEMBLES ET A LA TOPOLOGIE KAZIMIERZ KURATOWSKI Professeur à l’Université de Varsovie, membre de l’Académie polonaise des Sciences TRADUIT DE L’ÉDITION ANGLAISE par M. VUILLEUMIER Dr ès Sciences L’ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE Institut de Mathématiques de l’Université de Genève 1966 Edition originale K.. KURATOWSKI WSTQP DO TEORII lMNOGO%I 1 TOPOLOGII Patistwowe Wydawnictwo Naukowe, 1955 Copyright 0 1966 by PAfiSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWE WPLRSZAWA Imprimerie Albert KUNDIG, 10, rue du Vieux-Collège Genève-Suisse TABLE DES MATIÈRES Préface à l’édition anglaise .................... 1 Préface à l’édition française .................... 2 PREMIÈRE PARTIE THÉORIE DES ENSEMBLES Introducti(on à la première partie . . . . . . . . . 5 I. CALCUL PROPOSITIONNEL 0 1. La disjonction et la conjonction des propositions 4 2. La négation ................. 5 3. L’implication ................. Exercices ................... 11. ALGÈBRE DES ENSEMBLES. OPÉRATIONS FINIES 5 1. Opérations sur les ensembles . . 5 2. Relation avec le calcul propositionnel . . 5 3. L’inclusion . 5 4. Espace. Complémentaire d’un ensemble 5 5. L’axiomatique de l’algèbre des ensembles 0 6. L’algkbre de Boole Exercices . . . . . . . . . . . . . . 15 . . 16 . . 17 . . 19 21 . 22 24 11 12 13 14 III. FONCTIONS PROPOSITIONNELLES. PRODUITS CARTÉSIENS 5 1. L’opération {x: y (.x)} ..................... 26 5 2. Les quantificateurs ...................... 27 5 3. Couples ordonnés ....................... 29 0 4. Produit cartésien ....................... 30 Q 5. Fonctions propositionnelles de deux variables .......... 31 $ 6. Produit cartésien de n ensembles. Fonctions propositionnelles de n variables ........................... 33 VI THÉORIE DES ENSEMBLES ET TOPOLOGIE 0 7. Idéaux et filtres . . . . 0 8. Remarques sur les axiomes . . Exercices . . . . . . . . . IV. LA NOTION DE FONCTION. LES OPÉRATIONS INFINIES Dl. La notion de fonction ................ 0 2. Opérations généralisées ................ 9 3. La fonction F, ={y: ‘p (x. y)} ............. $4. Images et images réciproques déterminées par une fonction 5 5. Les opérations S(R) et P(R) .............. 5 6. Familles d’ensembles addit.ives et multiplicatives ..... 5 7. Familles boréliennes ................. 0 8. Produit cartésien généralisé .............. Exercices ....................... V. LA NOTION DE PUISSANCE D’UN ENSEMBLE. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES 5 1. Fonctions biunivoques . . 5 2. Ensembles équipotents . . Q 3. Ensembles dénombrables . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. OPÉRATIONS SUR ILES NOMBRES CARDINAUX. LES NOMBRES a ET c 0 1. Addition et multiplication . 0 2. Exponentiation . . . . . . . 8 3. Inégalités entre nombres cardinaux Q 4. Propriétés du nombre C . . . Exercices . . . . . . . . . . . . VII. R.ELATIONS D’ORDRE 5 1. Définitions . . . . . . 5 2. Similitude. Types d’ordre . . . 8 3. Ordre dense . . . . . . . . 5 4. Ordre continu . . . . . . . . $ 5. Systèmes inverses. Limites inverses Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 35 36 38 39 41 42 43 44 46 47 48 52 54 55 59 61 63 67 70 73 74 74 76 76 77 79 TABLE DES MATIÈRES VII VIII. LE BON ORDRE §l.Lebonordre ........................ 4 2. Théorème sur l’induction transfinie ............... 0 3. Théorème sur la comparaison des nombres ordinaux ........ 0 4. Ensembles de nombres ordinaux ................ $5. Le nombren ........................ 9 6. L’arithmétique des nombres ordinaux .............. 8 7. Théorème sur la possibilité de bien ordonner un ensemble quelconque Exercices ........................... 81 82 82 85 86 88 90 95 DEUXIÈME PARTIE TOPOLOGIE Introduction à la deuxième partie . . . . . . . . . . . . 97 IX. ESPACES MÉTRIQUES. ESPACES EUCLIDIENS 8 1. Espaces métriques ..................... 0 2. Diamètre d’un ensemble. Espaces bornés. Applications bornées 0 3. Le cube de Hilbert. .................... 5 4. Convergence d’une suite de points ............. 5 5. Propriétés de la limite .................. 0 6. Limite dans le produit cartésien .............. § 7. Convergence uniforme ................... Exercices ......................... X. ESPACES TOPOLOGIQUES 103 104 105 105 106 107 . 109 . 110 0 1. Définition. Axiomes de la fermeture .............. 5 2. Rapports avec les espaces métriques .............. 5 3. Propriétés algébriques de la fermeture. ............. 0 4. Ensembles fermés. Ensembles ouverts .............. Q 5. Opérations sur les ensembles fermés et les ensembles ouverts ... 0 6. Points intérieurs ....................... Q 7. Définition de l’espace topologique à partir de la notion d’ensemble ouvert ............................ 5 8. Base et sous-base de l’espace. ................. 4 9. Topologie relativisée aux sous-ensembles d’un espace topologique . $10. Comparaison de topologies .................. Exercices ........................... 111 111 113 114 115 117 118 119 120 120 121 VIII THÉORIE DES, ENSEMBLES ET TOPOLOGIE XI. DIVERSES FAMILLES D’ENSEMBLES. L’ENSEMBLE DÉRIVÉ 5 1. Ensembles boréliens .......... 5 2. Ensembles denses. Ensemb’les frontières . 1 3. Espace Fr. Espaces*ya ........ 5 4. Points d’accumulation. Points isolés. .. § 5. Ensemble dérivé ........... 0 6. Ensembles denses en soi. ....... Exercices ............... . . . . . . . XII. APPLICATIONS CONTINUES . . . . . . Q 1. Continuité .......................... 5 2. Cas des espaces métriques ................... 0 3. Distance d’un point à un ensemble. Extension des fonctions continues 5 4. Espaces normaux. Généralisation du théorème de Tietze ..... 5 5. Espaces complètement réguliers ................ 5 6. Homéomorphismes ...................... 5 7. Exemples d’homéomorphisme. ................. Exercices ........................... XIII. PRODUITS CARTÉSIENS Q 1. Produit cartésien de deux espaces topologiques # 2. Applications continues . . 5 3. Invariants de la multiplication cartésienne . . . . 5 4. Diagonale. Graphe d’une fonction . . § 5. Produits cartésiens généralisés . . . . . . . . 5 6. XT comme espace topologique. Le cube $T § 7. Produits cartésiens d’espaces métriques . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . XIV. ESPACES À BASE DÉNOMBRABLE 0 1. Propriétés générales .................. 0 2. Espaces séparables .................. 0 3. Problèmes de puissance ................ 5 4. Plongement dans le cube de Hilbert .......... 5 5. Points de condensation. Le théolrème de Cantor-Bendixson Exercices ....................... . . . . 124 125 126 127 127 128 129 131 133 137 144 147 148 150 152 155 155 157 158 159 160 163 164 167 168 169 171 173 174 TABLE DES MATIÈRES IX XV. ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS 5 1. Espaces métriques complets ................. 177 5 2. Le théorème de Cantor ................... 178 0 3. Le théorème de Baire .................... 178 5 4. Extension d’un espace métrique à un espace complet ...... 180 Exercices .......................... 181 XVI. ESPACES COMPACTS 0 1. Définition ................... ...... 0 2. Propriétés fondamentales. ................... 0 3. Produits cartesiens. Théorème de Tychonoff ........... 5 4. Compactification (de Lech-Stone) des espaces complètement réguliers 5 5. Espaces compacts métriques ................. 5 6. Topologie de convergence uniforme de Yx .......... 5 7. Topologie compacte ouverte ................. 0 8. Discontinu de Cantor .................... § 9. Applications continues du discontinu de Cantor ........ Exercices .......................... XVII. CONNEXITÉ 0 1. Définition. Ensembles séparés . . . 0 2. Propriétés des espaces connexes . . 0 3. Composantes . . . . . 5 4. Produits cartésiens d’espaces connexes. 5 5. Les continus . . . . . . . 9 6. Propriétés des continus . . . . . Exercices . . . . . . . uploads/Philosophie/ introductiontheorieens-pdf.pdf