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Cours de Mathématiques E.S.P.C.I Deuxième année Elie Raphaël Polycopié des élèv

Cours de Mathématiques E.S.P.C.I Deuxième année Elie Raphaël Polycopié des élèves rédigé à partir du cours 2 Ce polycopié a été rédigé sous L AT EX2e par Julien Berthaud, Cyrille Boullier, Régis Schach et Antoine Vanhaverbeke élèves de la 117ème promotion et retouché par Sébastien Besson et Nicolas Champavert, élèves de la 119ème promotion. Sur la version électronique du document, la table des matières renvoit directement par lien hypertexte aux parties correspondantes Table des matières 1 Les probabilités 5 1.1 Eléments de théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Mesure positive sur une tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Epreuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Evénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.6 Mesure de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.7 Mesure de probabilité sur un ensemble ﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.8 Cas particulier : probabilité uniforme (Ωﬁni : Ω= (ω1, . . . , ωn)) . . . . . 12 1.1.9 Suite d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Mesure de probabilité uniforme sur une partie de R . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Système complet d’événements. Formule des probabiltés totales et for- mule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Généralités sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Variable aléatoire réelle (v.a.r.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Loi de probabilité d’une v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3 Fonction de répartition d’une v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Variables aléatoires réelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Loi de probabilité d’une v.a.r. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.3 Fonction d’une v.a.r. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.4 Exemples de lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.5 Fonction de répartition d’une v.a.r. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.6 Espérance mathématique, moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.7 Couple de v.a.r. discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.8 Covariance et coeﬃcient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5.9 Inégalité de Bienaymé - Tchebitchev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.10 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6 Variables aléatoires réelles absolument continues (a.c.) . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6.2 Espérance, variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.6.3 Couple de v.a.r. absolument continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 4 TABLE DES MATIÈRES 1.6.4 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.7 Suite de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.7.1 Introduction - théorème de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.7.2 Convergence en loi - théorème "central limit” . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Calcul des variations 49 2.1 Préliminaire : Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.2 Formulation générale du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.4 Variations contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.5 Extrémité libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.6 Mécanique classique et "principe de moindre action” . . . . . uploads/Philosophie/ polymaths2a-060109.pdf