Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE (JE SAIS FAIRE) 1 CONNECTEURS LOGIQUES ET QUANTIFICATEURS  Je sais nier une conjonction « et » et une disjonction « ou ».  Je sais écrire la réciproque et la contraposée d’une implication. 1 Étant données deux propositions p et q, est-il vrai que la proposition : p ⇐⇒q est équivalente à la proposition : (p =⇒q) et non q =⇒non p  ? 2 Étant données deux propositions p et q, quand on dit que q est une condition nécessaire de p, affirme-t-on que : p =⇒q ou que : q =⇒p ? Même question avec « condition suffisante » à la place de « condition nécessaire ».  Je sais écrire l’implication : p =⇒q et sa négation à l’aide des connecteurs « et » et « ou ». En particulier, je sais que la négation de l’implication : p =⇒q n’est ni : non p =⇒non q, ni : non q =⇒non p.  Je sais nier les quantificateurs « ∀» et « ∃», et les permuter quand c’est possible. 3 Montrer que la proposition suivante est fausse : ∀n ∈N, ∃k ∈N, n = k2 + 1.  Je sais quelle rédaction adopter pour montrer une disjonction « ou », une implication ou une équivalence — chapitre transversal « Raisonner, rédiger ». 4 Montrer que tout entier naturel est la somme de trois carrés d’entiers naturels ou bien est supérieur ou égal à 7. 5 Montrer que pour tous a, b, c ∈Z : a + b + c = 0 =⇒ € a ⩽0 ou b ⩽0 ou c ⩽0 Š . 2 VOCABULAIRE ENSEMBLISTE  Je sais écrire en langage mathématique un ensemble décrit en français. 6 Écrire en langage mathématique l’ensemble des réels dont le logarithme est un entier, puis l’ensemble des entiers naturels qui sont le produit d’une factorielle et d’un entier naturel impair. 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 7 Décrire in extenso les ensembles :  2kk | 1 ⩽k ⩽4 et n x ∈R | ∃a, b ∈⟦1,2⟧, x = a a + b o .  Je sais quelle rédaction adopter pour montrer une inclusion ou une égalité d’ensembles — chapitre transversal « Raisonner, rédiger ». 8 Montrer l’inclusion : ¦k, k2 | k ∈N © ⊂ ¦ (x, y) ∈R2 | x ⩽y © .  Je sais distinguer appartenance et inclusion et je sais que les propositions : A ⊂E et : A ∈P (E) sont équivalentes. 9 Compléter par les symboles « ∈» ou « ⊂» quand c’est possible : 3 ··· R, Z ··· R,  3 ···  R ,  2 ··· N, 0 ··· P (N),  N ··· P (R) et  1,4 ··· P (Z). 10 Soient E un ensemble, x ∈E, A et B deux parties de E et  An | n ∈N un ensemble de parties de E. Écrire avec des connecteurs logiques les propositions : x ∈A∩B, x ∈A∪B, x ∈ \ n∈N An et x ∈ [ n∈N An. 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 3 CORRECTION DES EXERCICES 1 Non. La proposition : p ⇐⇒q est équivalente à la proposition « implication + réciproque » : (p =⇒q) et (q =⇒p), donc aussi à la proposition « implication + contraposée de la réciproque » : (p =⇒q) et non p =⇒non q  , laquelle n’est pas équivalente à la proposition de l’énoncé. ————————————– 2 Dire que q est une condition nécessire de p, c’est dire que quand p est vraie, q l’est nécessairement, autrement dit que : p =⇒q. Dire que q est une condition suffisante de p, c’est dire qu’il suffit que q soit vraie pour que p le soit, autrement dit que : q =⇒p. ————————————– 3 Négation : ∃n ∈N, ∀k ∈N, n ̸= k2 + 1. Il suffit de poser : n = 0. Il est alors bien vrai que pour tout k ∈N : k2 + 1 ⩾1 > n, donc : n ̸= k2 + 1. ————————————– 4 On rappelle que pour montrer une disjonction : p ou q, on suppose que p est fausse et on montre que q est alors forcément vraie. Soit n ∈N. Faisons l’hypothèse que n n’est pas supérieur ou égal à 7, i.e. que : n ⩽6. Il s’agit de montrer qu’alors n est la somme de trois carrés d’entiers naturels. Or si n = 0 : n = 02 + 02 + 02. Si n = 1 : n = 12 + 02 + 02. Si n = 2 : n = 12 +12 +02. Si n = 3 : ... Si n = 6 : n = 22 +12 +12. Dans tous les cas possibles, n est bien la somme de trois carrés d’entiers naturels. ————————————– 5 On peut raisonner par contraposition et montrer l’implication : € a > 0 et b > 0 et c > 0 Š =⇒ a + b + c ̸= 0, qui est évidente. ————————————– 6 ¦ x ∈R | ln x ∈Z © , puis : ¦ n ∈N | ∃a, b ∈N, n = a! (2b + 1) © = ¦ a! (2b + 1) | a, b ∈N © . ————————————– 7  2kk | 1 ⩽k ⩽4 =  2,8,24,64 et : n x ∈R ∃a, b ∈⟦1,2⟧, x = a a + b o = § 1 1 + 1, 1 1 + 2, 2 2 + 1, 2 2 + 2 ª = §1 3, 1 2, 2 3 ª . ————————————– 8 On rappelle que pour montrer une inclusion : E ⊂F, on part d’un élément quelconque de E et on montre qu’il est forcément dans F. Soit k ∈N. Il s’agit de montrer que : k, k2 ∈ ¦ (x, y) ∈R2 | x ⩽y © , autrement dit que : k ⩽k2. Or c’est vrai car si k = 0 : k = 0 ⩽0 = k2, et si k ⩾1 : k2 −k = k(k −1) ⩾0. ————————————– 9 3 ∈R, Z ⊂R,  3 ···  R ,  2 ⊂N, 0 ··· P (N),  N ⊂P (R) et  1,4 ∈P (Z). ————————————– 10 D’abord ! x ∈A∩B ⇐⇒ x ∈A et x ∈B. Ensuite : x ∈A∪B ⇐⇒ x ∈A ou x ∈B. Enfin : x ∈ \ n∈N An ⇐⇒ ∀n ∈N, x ∈An et : x ∈ [ n∈N An ⇐⇒ ∃n ∈N, x ∈An. ————————————– 3 uploads/Philosophie/ je-sais-faire-rudiments-de-logique-et-vocabulaire-ensembliste.pdf

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