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Calcul propositionnel Calcul propositionnel Axiome : On appelle axiome un princ

Calcul propositionnel Calcul propositionnel Axiome : On appelle axiome un principe indémontrable qui paraît incontestable. Proposition : On appelle proposition un énoncé dont la valeur de vérité peut être établie. Forme propositionnelle : Une forme propositionnelle à une variable est une expression contenant x et qui devient une proposition lorsqu’on substitue à x un élément du référentiel . Théorème : Un théorème est une proposition démontrable qui découle d’axiomes ou de propositions déjà établis. Démonstration : Une démonstration consiste à déduire une proposition à partir d’autres propositions suivant certaines règles logiques de raisonnement. Définition : La définition est la délimitation précise d’un concept dans un cadre plus général en utilisant d’autres concepts. Conjonction : Deux propositions p et q peuvent être connectées par le mot « et » pour constituer une porposition composée. Ce connecteur est appelé conjonction et son symbole est . Disjonction : Deux propositions p et q peuvent être connectées par le mot « ou » pour constituer une porposition composée. Ce connecteur est appelé disjonction (inclusive) et son symbole est . Le mot « ou » est employé avec le sens « les deux cas peuvent se produire » et on parle d’une disjonction inclusive. À ne pas confondre avec le sens employé « p ou q mais pas les deux » qui est une disjonction exclusive. Donc, est défini par une table de vérité et a toujours le sens de « p ou/et q ». Négation : Toute proposition p, dans laquelle on insére la location « ne...pas » devient une autre proposition appelée négation de p. Le symbole de la négation est qu’on lit « non p ». Tautologie et contradictions : Certaines propositions ne contiennent que des V dans la dernière colonne de leur table de vérité, i.e. qu’elles sont vraies chaque fois qu’une de leurs variables est vraie. On dit qu’il s’agit de tautologies. De même une proposition est une contradiction si elle est toujours fausse. Principe de substitution : Si est une tautologie, alors est une tautologie quelques soient les propositions . Équivalence logique : Deux propositions sont dites logiquement équivalentes si elles ont des tables de vérités équivalentes et on écrit . Implication conditionelle : L’implication conditionnelle entre deux propositions p et q, notée se lit « p implique q » ou « p alors q ». Équivalence biconditionnelle : L’équivalence biconditionnelle entre deux propositions p et q, notée , se lit « p est équivalente à q » ou « p si et seulement si q ». Tables de vérité : Algèbre des propositions : Indempotence :   Associativité :   Commutativité :   Distributivité :   Identité :     Complémentarité :     Involution :  Lois de Morgan :   Arguments : Un argument est un énoncé dans lequel un ensemble de propositions appelées prémisses, conduit, par voie de conséquence, à une propositions q, appelée conclusion. Un argument est représenté par . Un argument est dit logique si q est vraie chaque fois que les prémisses sont vraies. Un argument qui n’est pas logique est un sophisme. Théorème : L’argument est logique ssi est une tautologie. Implication logique : Une proposition p implique logiquement une proposition q, ce que nous écrivons si q est vraie chaque fois que p est vraie. Ainsi, pour toute propositione p et q, les trois énoncés suivants sont équivalents :   est logique.  est une tautologie. Quantificateurs universel : Avec le quantificateur universel, noté , on affirme que la propositionnelle est vraie pour tout . Ainsi se lit : « Quel que soit x appartenant au référentiel , est vérifiée ». Quantificateur existentiel : Avec le quantificateur existentiel, noté , on affirme qu’il existe au moins un x appartenant au référentiel qui rend vraie. Ainsi se lit : « Il existe au moins un x appartenant au référentiel qui vérifie ». Quantificateur d’unicité : Avec le quantificateur existentiel, noté , on affirme qu’il existe un et un seul x appartenant au référentiel qui rend vraie. Ainsi se lit : « Il existe un et un seul x appartenant au référentiel qui vérifie ». Négation du quantificateur universel : La négation du quantificateur universel, notée , signifie que n’est pas vérifiée pour tout , i.e. qu’il existe au moins un x qui rend fausse. Nous avons donc l’équivalence logique suivante : . Négation du quantificateur existentiel : La négation du quantificateur existentiel, notée , signifie qu’il n’y a pas d’élément du référentiel pour lequel est vraie, i.e. que pour tout , est fausse. Nous avons donc l’équivalence logique suivante : . Principe de dualité : Le dual d’un énoncé P est l’énoncé obtenu en remplaçant ……Aisni, lorsqu’une proporisiotn P est une identité, la proposition est aussi une identité. Règles d’inférences Règles d’inférences Loi de substitution : Avec cette loi, on peut remplacer une proposition p par une proposition q qui lui est équivalente à n’importe quelle étape d’un raisonnement. Loi du syllogisme : Modus ponens : Cette loi signifie que si l’implication a été démontrée et que l’hypothèse p est vraie, alors la vérité de q est établie. Par contre, si p n’est pas vérifiée, on ne peut rien conclure sur la validité de q. Lois de Morgan :   Méthodes de preuve Méthodes de preuve Preuve directe : Preuve par contraposée : Preuve d’une biconditionnelle : Preuve par contradiction : Une preuve par contradiction est une preuve qui commence par la négation de la proposition à démontrer pour en arriver, à cause de la supposition faite, à une contradiction. Ainsi, lorsque la proposition à démontrer est une implication , la preuve par contradiction consiste à nier l’implication de départ en supposant que l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse . La contradiction obtenur par un argument valide nous oblige à conclure à la fausseté de la négation et donc à la validité de l’implication de départ. Preuve par cas : Preuve par contre-exemple : Preuve par induction (récurrence) : Soit une proposition définie pour chaque entier positif n. Si est vraie et si , alors est vraie , alors est vraie pour tout entier positif n. Démonstration : Soit . Cet ensemble vérifie les hypothèses du théorème d’où , c’est-à-dire que est vraie pour tout entier positif n. Logique du premier ordre Logique du premier ordre Language : Un langage est la donnée d’une famille de symboles. On en distingue trois sortes :  Les symboles de constante.  Es symboles de fonction. À chaque symbole est associé un entier strictement positif qu’on appelle son arité : c’est le nombre d’argument de la fonction.  Les symboles de relation. À chaque symbole est associé un entier strictement positif qu’on appelle son arité : c’est le nombre d’argument de la relation. Termes :  L’ensemble  des termes sur  est le plus petit ensemble contenant les variables, les constantes et stable par l’application des symboles de fonctions de  à des termes.  Un terme clos est un terme qui ne contient pas de variables.  On appelle hauteur d’un terme t le plus petit k tel que . Taille d’un terme :  La taille d’un terme, notée est le nombre de symboles de fonction apparaissant dans t.  si x est une variable et c est une constante.  Formules :  Les formules sont construites à partir des formules dites atomiques en utilisant des connecteurs et des quantificateurs.  Les formules atomiques de  sont les formules de la forme où R est un symbole de relation n-aire de  et sont des termes de . On note tom l’ensemble des formules atomiques. Si on note l’ensemble des symboles de relation, on peut écrire .  L’ensemble  des formules de  est défini par la grammaire . Pour faciliter la lecture, on utilise également les deux formules telles que :   Sous-formule : Une sous-formule d’une formule F est l’un de ses composants, i.e. une formule à partir de laquelle F est construite. Formellement,  Si F est atomique, .  Si avec , alors .  Si avec alors . Une formule F de  n’utilise qu’un nombre fini de symboles de . Ce sous-ensemble est appelé le langage de la formule et noté . Taille d’une formule : La taille d’une formule F, notée est le nombre de connecteurs ou de quantificateurs apparaissant dans F. Formellement,  si F est une formule atomique  où  avec . Opérateur principal : L’opérateur principal d’une formule est défini par  Si A est atomique, alors elle n’a pas d’opérateur principal de A.  Si , alors est l’opérateur principal de A.  Si où alors est l’opérateur principal de A.  Si avec alors Q est l’opérateur principal de A. Variables libres : Soit F une formule. L’ensemble des variables libres de F est défini par récurrence sur :  Si est atomique : est l’ensemble des variables apparaissant dans les  Si uploads/Philosophie/ mathematique-analyse-01-logique.pdf