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1 TD- LOGIQUE ET RAISONNEMENTS avec Exercices avec solutions Exercice1 : Donner

1 TD- LOGIQUE ET RAISONNEMENTS avec Exercices avec solutions Exercice1 : Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes 1) : P 2 " / 0" x x   2 " / 2 0" x x    : P ) 2 3) : P   1;2 x / " 2 n n   " : P ) 4 5) : P  ; 1 cos 1 x x       ; : n m n m   : P ) 6 est pair 2 1 n   n  : P ) 7  ; n n   : P ) 8    ; : 0 x y y x     : P ) 9 10) : P   ! ;2 4 0 x x       2 ! ; 2 x x    : P ) 11  ; 4 x x   : P ) 12 13) : P    2 ; : x y y x    Solution : 1) : P 2 " / 0" x x   et on a : P est fausse 2) P 2 " / 2 0" x x    et on a : P est vraie 3) P :   1;2 x 4) P / " 2 n n   et on a : P est fausse est : P et on a cos 1 x  ou  ;cos 1 x x  P ) 5 vraie 6) P    ; : n m n m    et on a : P est vraie est fausse : P est impair 2 1 n   n  P ) 7 8) P  ; n n   et on a : P est vraie P 9)   ; : 0 x y y x     et on a : P est fausse 10) : P   ! ;2 4 0 x x     on a : P est vraie 11) : P   2 ! ; 2 x x    on a : P est fausse 12) P  ; 4 x x   et on a : P est vraie 13) P    2 ; : x y y x    et on a : P est fausse Exercice 2 Ecrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes : 1. Le carré de tout réel est positif. 2. Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré. 3. Aucun entier n'est supérieur à tous les autres. 4. Tous les réels ne sont pas des quotients d'entiers. 5. Il existe un entier multiple de tous les autres. 6; Entre deux réels distincts, il existe un rationnel. Solution : 1. 2 " / 0" x x   " 2 x x , " . 2    ; : n m n m   . 3     : ; : n x n m x m       . 4     ; : n m k n m k      . 5 6.   ; / / x y x y z x z y    Exercice 3 : ; x y   Montrer que : 0 2 1 1 1 0 2 x y x y       Solution : 1 1 0 2 1 1 1 1 2 1 1 0 2 2 2 2 1 1 1 x x y x y y x y                   Exercice 4 : x   Montrer que : 1 1 0 1 x x x     Solution :    1 1 1 1 1 1 x x x x         2 1 1 1 1 0 x x x     Exercice 5 : 1) Montrer que :     ; ² : ² ² 0 0 a b a b a       et 0 b  2) x   et y   Montrer que: 2 2 2 1 x y x y x y        Solution : 1) ² ² 0 ² ² ² a b a b a        Or on sait que ² a   donc ² a     donc ² 0 a  donc 0 a  Et puisque ² ² 0 a b   alors 0 b  2) 2 2 2 2 1 2 1 0 x y x y x x y y              2 2 1 1 0 1 0 x y x        et 1 0 y  d’apres1) 1 x   et 1 y  1 x   et 1 y  Donc : 2 2 2 1 x y x y x y        x  2 Exercice 6 : Montrer que :     ; ² : ² ² 1 2 a b a b a b       Solution : 1)supposons que : ² ² 1 a b   Or on sait que   ; a b   : ² 0 a b   Donc : ² 2 ² 0 a ab b    et puisque : ² ² 1 a b   alors : 1 2 0 ab   Donc 2 1 ab  et ² ² 1 a b   Par suite : ² ² 2 2 a b ab    donc  ² 2 a b   donc  ² 2 a b   donc 2 a b   Or on sait que ² a   donc ² a     donc ² 0 a  donc 0 a  Et puisque ² ² 0 a b   alors 0 b  2) 2 2 2 2 1 2 1 0 x y x y x x y y              2 2 1 1 0 1 0 x y x        et 1 0 y  d’apres1) 1 x   et 1 y  1 x   et 1 y  Donc : 2 2 2 1 x y x y x y        Exercice 7 : Montrer que si a et b alors a b  Solution : Prenons a et b . Rappelons que les rationnels sont l’ensemble des réels s’écrivant p q avec p etq   . Alors p a q  avec p etq   ; De même p b q    avec p etq   donc p p p q q p a b q q q q             . Or le numérateur p q q p      est bien un élément de ; le dénominateur q q  est lui un élément de . Donc a b s’écrit bien de la forme p a b q    avec p etq   Ainsi a b  Exercice 8 : on considère la fonction définie sur 1 2        par :  2 2 1 x f x x    Montrer que :   1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 x x f x f x        Solution : 1 1 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 x x x     On a :   2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x x x f x f x x x             Donc :   1 1 1 1 2 1 2 1 x f x f x x x         Et on a : 1 3 1 2 2 1 4 2 2 x x x       1 1 1 1 uploads/Philosophie/ logique-mathematique-corrige-serie-d-exercices-1-1 1 .pdf