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La Le vrai, le faux la Bibliothèque Tcin Tangente Hors-série n° 15 POLE © Éditi

La Le vrai, le faux la Bibliothèque Tcin Tangente Hors-série n° 15 POLE © Éditions POLE - Paris 2004 e Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation préalable est illicite, et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf.: Loi du Il mars 1957. I.S.B.N. 2-84884-018 I.S.S.N. 0987-0806 Commission paritaire 1006 K 80883 la Logique Sommaire DOSSIER La logique élémentaire Comment garantir qu'une argumentation est correcte, qu'aucun cercle vicieux ne s'immisce dans des propos qui se veulent justes? La logique est née avec Aristote et, à lire ou entendre tous les raisonnements fallacieux présentés avec tout le sérieux du monde par certains, on comprend que la logique, même «élémentaire», est un indispensable bagage pour tous les citoyens. DOSSIER La logique d'Aristote Lewis Carroll Les règles de la déduction La contraposition La théorie des ensembles Le moteur logique: l'implication Le tiers exclu Le projet de Hilbert A partir du XIX" siècle, les mathématiciens se penchent sur les fondements de leur discipline et s'attachent à s'assu- rer de leur solidité. Au début du xx• siècle, tout s'écroule. De nouvelles découvertes viennent bouleverser des siècles de certitudes. Deux camps s'opposent alors: les «intuitionnistes » ou «constructivistes », et les «forma- listes » dont le chef de file est David Hilbert. (suite au verso) Le projet de Hilbert Les machines de Turing La chute de la maison Hilbert Hors-série n' 15. l•X•f}1iêtl logique et informatique Pour accomplir une tâche, une machine ne peut se fonder sur la logique humaine, celle que nous utilisons pour les actions de la vie quotidienne. La logique mathématique est nécessaire, c'est pourquoi l'informatique en est née et a poussé à mieux discerner l'aspect syntaxique traitable par ordinateur et l'aspect sémantique réservé aux seuls êtres humains. Bien entendu, les taches mécanisables sont alors strictement limitées. Mathématiquement, elles correspondent aux fonctions tout à la fois calculables et de complexité« raisonnable». L'intelligence artificielle Les circuits logiques Calculabilité, décidabilité et complexité Programmer la logique: le Prolog Géométrie automatique La logique floue Les logiques non classiques La correspondance de Curry-Howard Syntaxe et sémantique l •X•f }1 i a tl JeuK et paradoKes La logique est un immense territoire ludique où les paradoxes titillent le bon sens, où les mots se prennent au jeu, où l'auto-référence nous entraîne dans ses la- byrinthes et où Menteurs et Sorcières, Fous et Sages s'affrontent dans des joutes impitoyables. Le vrai, le faux et l'indéterminé Les énigmes d'Œdipeland Raymond Smullyan Les cocus de Bagdad Le paradoxe de Hempel En toute logique La maison hantée Le paradoxe du menteur Raymond Devos, le forcené de la logique Test d'aptitude autoréférentielle Logic logique Solutions notes de lecture Tangente Hors-série n' 15. Logique , e « Il n'y a que la vérité qui blesse», dit-on. Bon, mettons alors que je dise que je suis un génie. Ça me blesse? Non. « Donc, je n'en suis pas un ... » La conclusion du raisonneme précédent est probablement correcte, mais il n'empêche: le raisonnement lui-même est a On pourrait en fait le reformuler pour lui faire dire que nulle personne au monde ne possède la moindre qualité! La manière de présenter ce faux raisonnement lui donne pourtant une apparence de vérité, d'où la question qui s'est posée depuis l'émergence de la pensée rationnelle: comment garantir qu'une argumentation est correcte, qu'aucun cercle vicieux ne s'immisce dans des propos qui se veulent justes? La science de la logique était née et, à lire ou entendre tous les raisonnements fallacieux présentés avec tout le sérieux du monde par certains qui peuvent plus que d'autres se faire entendre, on comprend que la logique, même «élémentaire », est un indispensable bagage pour tous les citoyens. p.18 p.23 p.24 p.30 le tiers exclu p.32 Hors-série n° 15. Logique Tangenf:e HISTOIRE par BenoÎt Rittaud la logique d'Hristote Fonder un discours assuré passe par un mode de déduction rationnel sans faille. Pour ce faire, il convient d'expliciter les règles de déduction légitimes: le premier à s'attaquer au problème est Aristote, avec ses fameux syllogismes. Aristote © UBG L e nom d' Aristote est attaché à de nombreux domaines de la réfl ex ion , qu ' il s'agisse de science, de philosophie ou de politique. S'agissant des mathématiques en re- vanche, on ne connaît aucun théorème qui puisse lui être attribué. Si , sans doute en partie sous l' influence de son maître Platon , les mathématiques constituent certes pour lui une source d ' inspiration et de commentaires , il semble ne jamais avoir véritablement cherché à les développer pour elles- mêmes, même si certains passages de sa Physique notamment peuvent être lus comme purement mathématiques. la logique comme science La principale contribution aux mathé- matiques d'Aristote concerne ses tra- vaux sur la logique démonstrati ve, vé- ritable clé pour accéder à la vérité, c'est-à-dire à des énoncés qui ont, par la force de leur exactitude, un statut de 6 Tangente Hors-série n° 15. Logique réalité analogue aux objets matériels. C 'est notamment à Aristote que l'on doit l'énoncé du principe du tiers exclu (cf. page 16), qui pose qu 'un énoncé est nécessairement vrai ou fa ux. On lui doit aussi d'avoir imaginé la notion de proposition, c'est-à-dire d'énoncés abstraits sur lesquels on ne fa it aucune hypothèse a priori sur la véracité ou la fausseté . Selon Aristote, une proposi- tion est indépendante du langage utilisé pour la transcrire , c 'est-à-dire qu ' il s'agit d'une entité abstraite regroupant toutes les manières qu' il y a de dire ce qu 'elle dit. Il s'agit ainsi de la brique fondatrice de la science de la logique, au même titre que le point est l'objet de base de la géométrie ou le nombre celui de l'arithmétique. Une proposition est donc davantage qu'une simple phrase, mais une phrase n'est pas non plus nécessairement le re- flet, fut-il impar fait, d'une proposition. Pour que ce soit le cas, encore faut-il que les mots employés aient un sens clair DOSSIER: LOGIQUE ÉLÉMENTAIRE Hors-série n° 15. Logique Tangente HISTOIRE La logique d'Aristote Les proposi- tions sont à la logique ce que le point est à la géométrie, ou le nombre à l'arithmé- tique. et non ambigu, c'est-à-dire qu' ils ne fas- sent pas référence à des notions elles- même mal définies.Aristote a ainsi, pour la première fois semble-t-il, distingué très clairement entre ce qui est de l'ordre de la définition , du postulat et de la conclusion. Il faut dire que Je toilettage des discours de l'époque avait quelque chose de nécessaire : nous sommes au quatrième siècle avant notre ère, à une époque où l'art du discours était certes très développé, mais souvent davantage dans J e but d'emporter la conviction des citoyens que dans celui de faire émerger la vérité (c'est Je reproche qu'adressait Platon aux sophistes et aux rhéteurs de tous poils de son époque). Pour atteindre la vérité, donc, Aristote se préoccupe des définitions plus que nul autre avant lui,et illustre l' importance de l'idée par un exemple tiré de la géométrie ( cf. encadré). Par delà le urai et le faux Pouvoir s'intéresser à une proposition in- dépendamment de la question de savoir si ce qu'elle énonce est vrai ou faux est un pas important dans l'émergence de la logique abstraite. Aristote a également établi la distinction entre ce que nous ap- pelons aujourd'hui les propositions uni- verselles et les propositions existen- tielles. Les premières énoncent un fait général « inconditionnel » et peuvent s'introduire par «Quel que soit » (par exemple, « Quel que soit le triangle, la somme de ses angles mesure 180° »). Les secondes ne font qu'énoncer l'exis- tence d'objets particuliers et peuvent s'introduire par «Il existe» (comme dans « Il existe des nombres irrationnels. »). Au XIX• siècle, Dedekind popularisera l'emploi des quantificateurs universel et existentiel, notés \;/ (un A renversé, pour alle en Allemand) et 3 (un E ren- versé, pour exist). Une fois reconnu les différents types de 8 Ta.ngente Hors-série n° 15. Logique propositions, Aristote s'est attelé à la tâche de fonder une sorte d'« arithmé- tique des propositions», dans laquelle la véracité supposée de deux d'entre elles (les prémisses) entraîne celle de la troi- sième (la conclusion) selon des modali- tés définies par différentes catégories de syllogismes. Aristote définit ainsi cette notion dans les Premiers Analytiques: « Le syllogisme est un discours dans le- quel, certaines choses étant posées, quelque chose d'autre que ces données en résulte nécessairement par le fait de ces données.» L'exemple le plus couram- ment donné de syllogisme est J e suivant: A: Tout homme est mortel. B: Socrate est un homme. C : Socrate est mortel. Précisons que cet exemple n'est pas d'Aristote lui-même, lequel considérait qu' il n'existait de science que du géné- ral et non du particulier: le syllogisme précédent, bien que correct, aurait donc présenté pour lui le défaut de mettre en jeu un être particulier («Socrate»), in- compatible avec la fonction «générale» du syllogisme. Autrement dit, la propo- sition B, ne commence uploads/Philosophie/ bibliotheque-tangente-hs-15-la-logique-le-vrai-le-faux-et-l-x27-incertain.pdf