Chapitre 1 NOTIONS DE LOGIQUE 1 Proposition, fonctions propotitionnelle Dé niti

Chapitre 1 NOTIONS DE LOGIQUE 1 Proposition, fonctions propotitionnelle Dé nition 1 proposition (ou assertion ou a rmation Une proposition est un énoncé mathématique qui pouvant être vrai ou faux et pas les deux en même temps. Dé nition 2 Fonction propositionnelle Une fonction propositionnelle est un énoncé mathématique contenant une ou plusieurs variables et qui est susceptible de devenir une proposition vraie ou fausse si l'on attribue à ces variables certaines valeurs particulières . Notations On peut noté les propositions par les littre P, Q, R, ...et les fonctions propositionnelles par P(x), P(m,n), Q(p, q, r)... Table de vérité d'une proposition • Si la proposition P est vraie, alors on dit que sa valeur de vérité est vraie et on la note par  V  ou  1 . • Si la proposition P est fausse, alors on dit que sa valeur de vérité est fausse et on la note par  F  ou  0 . La valeur de vérité de la propositon P peut être resumée dans le tableau ci-dessous. P V F ou P 1 0 Example 1 1  Le nombre 2018 est pair  est une proposition vraie. 2  Tout carée est un parallélograme  est une proposition vraie. 3  17 est un nombre premier  est une proposition vraie. 4  x + y = z  n'est pas proposition . 5 P(n) :  n2 + n + 1, avec n ∈N est un nombre premier  est une fonction propositionnelle. P(0) est une propositon fausse mais p(2) est une propositon vraie. 6 P(n,m) :  n + m = 10, avec n, m) ∈N2  est un nombre premier  est une fonction propositionnelle. P(4,6) est une propositon vraie mais p(2,7) est une propositon fausse. Les quanti cateurs Dé nition 1 Les quanti cateurs Les quanti cateurs sont des symboles permettant d'écrire des phrases de manière plus synthétique, plus simple à lire et à écrire. 2 CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE c ⃝Pr : BENNAJI ADIL • 2017-2018 Dé nition 2 Soit P une fonction propositionnelle portant sur les éléments d'un ensemble E. ▶La proposition  ∃x ∈E, P(x)  dit qu'au moins un élément x de E véri e la propriété P. On dit que  ∃ est le quanti cateur existentiel. ▶La proposition  ∀x ∈E, P(x)  exprime que tout élément x de E véri e la propriété P. On dit que  ∃ est le quanti cateur universel. ▶La proposition  ∃!x ∈E, P(x)  exprime qu'un et un seul élément x de E véri e la propriété P. Example 1 •  ∀x ∈R, x2 ⩾0  (proposition vraie). •  ∀(a, b) ∈N2, √ a + b = √a + √ b  (proposition faussee). •  ∀x ∈R, x2 ⩾0  (proposition vraie). •  ∃n ∈N, 1 ⩽2n ⩽3  (proposition vraie). •  ∃!x ∈[0, 1], x2 −1 = 0  (proposition vraie). •  ∀x ∈R, ∃y ∈R : y > x (proposition vraie) . •  ∃y ∈R, ∀x ∈R : y > x (proposition fausse) . Remarque • On peut intervertir deux quanti cateurs existentiels consécutifs (resp. quanti cateurs universels). • L'inversion d'un quanti cateur existentiel et d'un quanti cateur universel change le sens de la pro- position. Opérations sur les propositions La négation 1.3 Dé nition 1 La négation de la proposition P est la proposition notée P ( ou nonP ou ¬P )qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie. Example 1 P ¬P x ⩾3 x > 3 x ∈N x ̸∈N A, B, C Alignés ABC triangle (D) et (D′) secantes (D)//(D′)  ∀x ∈R, ∃y ∈R : y + x = 2 ∃x ∈R, ∀y ∈R : y + x ̸= 2 Table de vérité de la négation P P V F F V La conjonction et la disjonction 1.3 c ⃝Pr : BENNAJI ADIL • 2017-2018 CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE 3 Dé nition 2 ▶La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée (P et Q)ou P ∧Q qui est vraie si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies et fausse dans tous les autres cas. ▶La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée (P ou Q)ou P ∨Q qui est fausse si les deux propositions P et Q sont simultanément fausses et vraie dans tous les autres cas. Tablede vérité de la conjonction et la disjonction P Q P ∧Q V V V F V F V F F F F F P Q P ∨Q V V V F V V V F V F F F Example 2 P Q P ∧Q x < 10 x > 2 x ∈]2, 10[ ABCD losange ABCD rectangle ABCD carée P Q P ∨Q x < 2 x > 10 x ∈]−∞, 2[ ∪]10, +∞[ n multiple de 3 inférieur à 10 n pair inférieur à 10 n ∈{2, 3, 4, 6, 8, 9} L'implication et l'équivalence 1.3 Dé nition 3 ▶L'implication de deux propositions P et Q est la proposition notée P = ⇒Q qui est fausse l'on a simultanément P est vraies et Q est fausse et vraie dans tous les autres cas. ▶L'implication de deux propositions P et Q est la proposition notée P ⇐ ⇒Q qui est vraie si les deux propositions P et Q sont simultanément fausses ou vraies . Tablede vérité de l'implication et l'équivalence P Q P = ⇒Q V V V F V V V F F F F V P Q P ⇐ ⇒Q V V V F V F V F F F F V Example 3 P Q P = ⇒Q x = −2 x2 = 4 x = −2 = ⇒x2 = 4 ABC équiltéral ABC isocèle ABC équiltéral = ⇒ABC isocèle P Q P ⇐ ⇒Q x2 = 4 x = 2 ou x = −2 x2 = 4 ⇐ ⇒x = 2 ou x = −2 ABC triqngle rectangle en A BC2 = AB2 + AC2 ABC triqngle rectangle en A ⇐ ⇒ BC2 = AB2 + AC2 4 CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE c ⃝Pr : BENNAJI ADIL • 2017-2018 Les lois logiques Dé nition 1 Une loi loqique est une proposition composéequi est toujours vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent. Example 1 Lois de Morgan : 1 (P ∧Q) ⇐ ⇒P ∨Q 2 (P ∨Q) ⇐ ⇒P ∧Q P Q P Q P ∨Q P ∧Q P ∨Q P ∨Q ⇐ ⇒P ∧Q V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V P Q P Q P ∧Q P ∨Q P ∨Q P ∧Q ⇐ ⇒P ∨Q V V F F V F F V V F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V Autres lois logiques Soient P, Q et R des propositions, les propositions suivantes sont des lois logiques. • P ⇐ ⇒P. • (P ∧P) ⇐ ⇒P • (P = ⇒Q) ⇐ ⇒(Q = ⇒P) • [(P = ⇒R) ∧(R = ⇒Q)] = ⇒(P = ⇒Q) • (P = ⇒Q) = ⇒(P ∨Q) Les grands types de raisonnement Raisonnement direct (déductif) 1.5 Quand P est une proposition vraie, et P = ⇒Q est une proposition vraie, on peut a rmer que Q est une proposition vraie. Example 1 1 Montrer que : ∀a, b > 0, √ ab ⩽a + b 2 . 2 En déduire que : ∀x > 0, 2√x ⩽x + 1. 3 Montrer que : ∀x, y > 0, 4√xy ⩽(x + 1)(y + 1) . Raisonnement par contraposition 1.5 c ⃝Pr : BENNAJI ADIL • 2017-2018 CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE 5 La contraposée de l'implication P = ⇒Q est la proposition non Q = ⇒P. Or, une implication est équivalente à sa contraposée. Pour démontrer l'implication P = ⇒Q, on peut essayer de démontrer la contraposée Q = ⇒P, qui est parfois plus simple Example 2 Soit n ∈N. Montrer que : n2 est pair = ⇒n est pair. Raisonnement par équivalance 1.5 Pour montrer que P ⇐ ⇒Q on cherche une proposition R et on montre que P ⇐ ⇒R et R ⇐ ⇒Q. Example 3 Montrer que : (∀x ∈R), x2 + x −2 = 0 ⇐ ⇒(x = 1 ou x = −2) Raisonnement par l'absurde 1.5 On veut montrer qu'une proposition P est vraie. On suppose que c'est sa négation P qui est vraie et on montre que cela entraîne une proposition fausse. On en conclut que P est vraie . Le schéma du raisonnement par l'absurde est le suivant : Quand P = ⇒Q est une proposition vraie, et Q est une proposition fausse, on peut a rmer que uploads/Philosophie/ logique 2 .pdf

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