1 Logique – Raisonnement | 30 1.1 Logique | Facile | 30.01 Question 1 Soit P un

1 Logique – Raisonnement | 30 1.1 Logique | Facile | 30.01 Question 1 Soit P une assertion vraie et Q une assertion fausse. Quelles sont les assertions vraies ? □P ou Q □P et Q □non(P) ou Q □non(P et Q) Question 2 Par quoi peut-on compléter les pointillés pour avoir les deux assertions vraies ? x ⩾2 ... x2 ⩾4 |y| ⩽3 ... 0 ⩽y ⩽3 □⇐= et =⇒ □=⇒et =⇒ □⇐= et =⇒ □=⇒et ⇐= Question 3 Quelles sont les assertions vraies ? □∀x ∈R x2 −x ⩾0 □∀n ∈N n2 −n ⩾0 □∀x ∈R |x3 −x| ⩾0 □∀n ∈N \ {0,1} n2 −3 ⩾0 QCM DE MATHÉMATIQUES Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies (et seulement celles-ci). 1 Logique – Raisonnement | 30 PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Mathématiques BIOF Question 4 Quelles sont les assertions vraies ? □∃x > 0 px = x □∃x < 0 exp(x) < 0 □∃n ∈N n2 = 17 □∃z ∈C z2 = −4 Question 5 Un groupe de coureurs C chronomètre ses temps : t(c) désigne le temps (en secondes) du coureur c. Dans ce groupe Valentin et Chloé ont réalisé le meilleur temps de 47 secondes. Tom est déçu car il est arrivé troisième, avec un temps de 55 secondes. À partir de ces informations, quelles sont les assertions dont on peut déduire qu’elles sont vraies ? □∀c ∈C t(c) ⩾47 □∃c ∈C 47 < t(c) < 55 □∃c ∈C t(c) > 47 □∀c ∈C t(c) ⩽55 Question 6 Quelles sont les assertions vraies ? □La négation de "∀x > 0 ln(x) ⩽x" est "∃x ⩽0 ln(x) ⩽x". □La négation de "∃x > 0 ln(x2) ̸= x" est "∀x > 0 ln(x2) = x". □La négation de "∀x ⩾0 exp(x) ⩾x" est "∃x ⩾0 exp(x) ⩽x". □La négation de "∃x > 0 exp(x) > x" est "∀x > 0 exp(x) < x". 2 Logique | Moyen | 30.01 Question 7 Soit P une assertion fausse, Q une assertion vraie et R une assertion fausse. Quelles sont les assertions vraies ? □Q et (P ou R) □P ou (Q et R) □non(P et Q et R) □(P ou Q) et (Q ou R) Question 8 Soient P et Q deux assertions. Quelles sont les assertions toujours vraies (que P et Q soient vraies ou fausses) ? 2 PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Mathématiques BIOF □P et non(P) □non(P) ou P □non(Q) ou P □(P ou Q) ou (P ou non(Q)) Question 9 Par quoi peut-on compléter les pointillés pour avoir une assertion vraie ? |x2| < 5 ... − p 5 < x < p 5 □⇐= □=⇒ □⇐⇒ □Aucune des réponses ci-dessus ne convient. Question 10 À quoi est équivalent P =⇒Q ? □non(P) ou non(Q) □non(P) et non(Q) □non(P) ou Q □P et non(Q) Question 11 Soit f :]0,+∞[→R la fonction définie par f (x) = 1 x . Quelles sont les assertions vraies ? □∀x ∈]0,+∞[ ∃y ∈R y = f (x) □∃x ∈]0,+∞[ ∀y ∈R y = f (x) □∃x ∈]0,+∞[ ∃y ∈R y = f (x) □∀x ∈]0,+∞[ ∀y ∈R y = f (x) Question 12 Le disque centré à l’origine de rayon 1 est défini par D =  (x, y) ∈R2 | x2 + y2 ⩽1 . Quelles sont les assertions vraies ? □∀x ∈[−1,1] ∀y ∈[−1,1] (x, y) ∈D □∃x ∈[−1,1] ∃y ∈[−1,1] (x, y) ∈D □∃x ∈[−1,1] ∀y ∈[−1,1] (x, y) ∈D □∀x ∈[−1,1] ∃y ∈[−1,1] (x, y) ∈D 3 PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Mathématiques BIOF 3 Logique | Difficile | 30.01 Question 13 On définit l’assertion "ou exclusif", noté "xou" en disant que "P xou Q" est vraie lorsque P est vraie, ou Q est vraie, mais pas lorsque les deux sont vraies en même temps. Quelles sont les assertions vraies ? □Si "P ou Q" est vraie alors "P xou Q" aussi. □Si "P ou Q" est fausse alors "P xou Q" aussi. □"P xou Q" est équivalent à "(P ou Q) et (non(P) ou non(Q))" □"P xou Q" est équivalent à "(P ou Q) ou (non(P) ou non(Q))" Question 14 Soient P et Q deux assertions. Quelles sont les assertions toujours vraies (que P, Q soient vraies ou fausses) ? □(P =⇒Q) ou (Q =⇒P) □(P =⇒Q) ou (P et non(Q)) □P ou (P =⇒Q) □(P ⇐⇒Q) ou (non(P) ⇐⇒non(Q)) Question 15 À quoi est équivalent P ⇐= Q ? □non(Q) ou P □non(Q) et P □non(P) ou Q □non(P) et Q Question 16 Soit f : R →R la fonction définie par f (x) = exp(x)−1. Quelles sont les assertions vraies ? □∀x, x′ ∈R x ̸= x′ =⇒f (x) ̸= f (x′) □∀x, x′ ∈R x ̸= x′ ⇐= f (x) ̸= f (x′) □∀x, x′ ∈R x ̸= x′ =⇒(∃y ∈R f (x) < y < f (x′)) □∀x, x′ ∈R f (x) × f (x′) < 0 =⇒x × x′ < 0 Question 17 On considère l’ensemble E =  (x, y) ∈R2 | 0 ⩽x ⩽1 et y ⩾px . Quelles sont les assertions vraies ? 4 PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Mathématiques BIOF □∀y ⩾0 ∃x ∈[0,1] (x, y) ∈E □∃y ⩾0 ∀x ∈[0,1] (x, y) ∈E □∀x ∈[0,1] ∃y ⩾0 (x, y) / ∈E □∀x ∈[0,1] ∀y ⩾0 (x, y) / ∈E Question 18 Soit f :]0,+∞[→]0,+∞[ une fonction. Quelles sont les assertions vraies ? □La négation de "∀x > 0 ∃y > 0 y ̸= f (x)" est "∃x > 0 ∃y > 0 y = f (x)". □La négation de "∃x > 0 ∀y > 0 y× f (x) > 0" est "∀x > 0 ∃y > 0 y× f (x) < 0". □La négation de "∀x, x′ > 0 x ̸= x′ =⇒f (x) ̸= f (x′)" est "∃x, x′ > 0 x = x′ et f (x) = f (x′)". □La négation de "∀x, x′ > 0 f (x) = f (x′) =⇒x = x′" est "∃x, x′ > 0 x ̸= x′ et f (x) = f (x′)". 4 Raisonnement | Facile | 30.03, 30.04 Question 19 Je veux montrer que n(n+1) 2 est un entier, quelque soit n ∈N. Quelles sont les démarches possibles ? □Montrer que la fonction x 7→x(x + 1) est paire. □Séparer le cas n pair, du cas n impair. □Par l’absurde, supposer que n(n+1) 2 est un réel, puis chercher une contradiction. □Le résultat est faux, je cherche un contre-exemple. Question 20 Je veux montrer par récurrence l’assertion Hn : 2n > 2n −1, pour tout entier n assez grand. Quelle étape d’initialisation est valable ? □Je commence à n = 0. □Je commence à n = 1. □Je commence à n = 2. □Je commence à n = 3. Question 21 Je veux montrer par récurrence l’assertion Hn : 2n > 2n −1, pour tout entier n assez grand. Pour l’étape d’hérédité je suppose Hn vraie, quelle(s) inégalité(s) dois-je maintenant démon- trer ? 5 PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Mathématiques BIOF □2n+1 > 2n + 1 □2n > 2n −1 □2n > 2(n + 1) −1 □2n + 1 > 2(n + 1) −1 Question 22 Chercher un contre-exemple à une assertion du type "∀x ∈E l’assertion P(x) est vraie" revient à prouver l’assertion : □∃!x ∈E l’assertion P(x) est fausse. □∃x ∈E l’assertion P(x) est fausse. □∀x / ∈E l’assertion P(x) est fausse. □∀x ∈E l’assertion P(x) est fausse. 5 Raisonnement | Moyen | 30.03, 30.04 Question 23 J’effectue le raisonnement suivant avec deux fonctions f , g : R →R. ∀x ∈R f (x) × g(x) = 0 =⇒∀x ∈R f (x) = 0 ou g(x) = 0  =⇒ ∀x ∈R f (x) = 0  ou ∀x ∈R g(x) = 0  □Ce raisonnement est valide. □Ce raisonnement est faux car la première implication est fausse. □Ce raisonnement est faux car la seconde implication est fausse. □Ce raisonnement est faux car la première et la seconde implication sont fausses. Question 24 Je souhaite montrer par récurrence une certaine assertion Hn, pour tout entier n ⩾0. Quels sont les débuts valables pour la rédaction de l’étape d’hérédité ? □Je suppose Hn vraie pour tout n ⩾0, et je montre que Hn+1 est vraie. □Je suppose Hn−1 vraie pour tout n ⩾1, et je montre que Hn est vraie. □Je fixe n ⩾0, je suppose Hn vraie, et je montre que Hn+1 est vraie. □Je fixe n ⩾0 et je montre que Hn+1 est vraie. 6 PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Mathématiques BIOF Question 25 Je veux montrer que ex > x pour tout x réel avec x ⩾1. L’initialisation est vraie pour x = 1, car e1 = 2,718... > 1. Pour l’hérédité, je suppose ex > x et je calcule : ex+1 = ex × e > x × e ⩾x × 2 ⩾x + 1. Je conclus par le principe de récurrence. Pour quelles raisons uploads/Philosophie/ logique-mathematique-qcm.pdf

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