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1 Université d’Abomey-Calavi (UAC) Institut de Mathématiques et de Sciences Phy

1 Université d’Abomey-Calavi (UAC) Institut de Mathématiques et de Sciences Physiques (IMSP) Année académique : 2019-2020 Filière : Classes Préparatoires MPSI Travaux Dirigés 1 Exercice 1 : 1. On considère les assertions suivantes : (a) ∃x ∈R, ∀y ∈R, x + y > 0 ; (b) ∀x ∈R, ∃y ∈R, x + y > 0 ; (c) ∀x ∈R, ∀y ∈R, x + y > 0 ; (d) ∃x ∈R, ∀y ∈R, y2 > x. Quelle est la valeur de vérité de chacune de ces assertions ? Donner leur négation. 2. Dans R2, on déﬁnit les ensembles F1 = {(x, y) ∈R2, y ≤0} et F2 = {(x, y) ∈R2, xy ≥1, x > 0}. On note M1M2, la distance usuelle entre deux points M1 et M2 de R2. Évaluer les assertions suivantes et donner leur négation quand elles sont fausses. (a) ∀ε ∈]0, +∞[, ∃M1 ∈F1, ∃M2 ∈F2, M1M2 < ε ; (b) ∃M1 ∈F1, ∃M2 ∈F2, ∀ε ∈]0, +∞[, M1M2 < ε ; (c) ∃ε ∈]0, +∞[, ∀M1 ∈F1, ∀M2 ∈F2, M1M2 < ε ; (d) ∀M1 ∈F1, ∀M2 ∈F2, ∃ε ∈]0, +∞[, M1M2 < ε. Exercice 2 : 1. Tous les habitants de la voie de Dangbo qui ont les yeux bleus gagneront au loto et pren- dront leur retraite avant 50 ans. Nier cette phrase après l’avoir traduis en langage mathématique. 2. Donner la négation des propositions suivantes : (a) Tout triangle rectangle possède un angle droit ; (b) Pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z < x implique la relation z < x + 1 ; (c) ∀ε > 0, ∃α > 0, x −7 5 < α ⇒|5x −7| < ε . Exercice 3 : Soit f une fonction déﬁnie sur R à valeurs dans R. Traduis en termes de quantiﬁcateurs, les expressions suivantes : 1. f est majorée ; 2. f est bornée ; 3. f est paire ; 4. f ne s’annule jamais ; 5. f est périodique ; 6. f est croissante ; 7. f n’est pas la fonction nulle. c ⃝IMSP-UAC Octobre 2019 Logique etThéorie des Ensembles uploads/Philosophie/ td-1-lte.pdf