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Chapitre 1 Logique et ensembles 1.1 Raisonner juste et bien Nous commençons par

Chapitre 1 Logique et ensembles 1.1 Raisonner juste et bien Nous commençons par poser quelques principes généraux sur le "raison- nement mathématiques". même si les considérations qui suivent sont très générales, il conviendra de toujours les garder à l’esprit, un peu comme un ensemble de "préceptes", des règles de conduite auxquelles il faudra toujours se tenir. 1.1.1 le "bien raisonner" Pour parler de façon extrêmement simpliﬁée, le but des mathématiques est de démontrer (prouver, établir, etc.) que certaines propriétés (énoncés, propositions, assertions, etc.) sont vraies. Pour cela les mathématiques utilisent un langage formalisé, codiﬁé, pré- cis. Même si le champ d’application des mathématiques est immense (du plus élémentaire au plus diﬃcile), la nécessité de bien expliquer/rédiger (donc de bien se faire comprendre de ceux qui vous parlez ou qui vous lisent) et l’obli- gation (morale !) de justiﬁer soigneusement toutes les étapes du raisonnement (ou du calcul) s’imposent à tous les niveaux. Cette exigence du “bien raisonner” est une partie essentielle des mathé- matiques. Lorsqu’on vous demande de résoudre un exercice (consistant en général à vériﬁer qu’une propriété est vraie sous certaines hypothèses) ce qu’on attend de vous n’est pas tant d’établir que cette propriété est vraie (elle l’est de toutes façons : on ne vous demandera pas de démontrer des choses fausses), mais plutôt d’être convaincant, rigoureux, et de justiﬁer tout 1 2 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET ENSEMBLES ce que vous écrivez. Votre démonstration ne doit pas laisser place aux ambiguïtés, aux im- précisions. Elle doit être concise, limpide. Vous devez utiliser les hypothèses à bon escient (au bon moment), avancer logiquement, et terminer par une aﬃrmation claire (et convaincante) du résultat attendu. À notre niveau, le raisonnement mathématique est donc essentiellement l’art de bien utiliser le langage à notre disposition pour (soit oralement, soit par écrit) convaincre un interlocuteur qu’on sait prouver (à partir d’hypothèses précises) qu’un résultat est vrai. 1.1.2 Le “bien parler” mathématique Mis à part les qualités purement opératoires du langage mathématique, on n’oubliera que celui-ci s’inscrit dans la langue française. À cet égard, le rai- sonnement mathématique se doit d’être bien articulé, très proprement écrit, et l’expression doit en être variée, plaisante, si possible élégante. Sachez que les fautes d’orthographe (et les ratures, ou les patés de correcteur blanc) font toujours très mauvais eﬀet. On cherchera le bon équilibre entre l’usage systématique de notations purement mathématiques (qui donne une impression de sécheresse) et une rédaction trop verbeuse du raisonnement. Si la conclusion mathématique à laquelle on tend est importante, le style avec lequel on y parvient l’est tout autant. Les questions de pure forme, d’esthétique générale, sont donc essentielles. Mais on n’oubliera pas le but qui nous est proposé, qui est de progresser dans l’art de démontrer des résultats toujours un peu plus diﬃciles. Dès les classes de lycée (à un moment donc où le contenu mathématique reste limité), il faut prendre l’habitude de soigner la rédaction, et de veiller à la précision des arguments utilisés. C’est le meilleur moyen de progresser. Une fois ces habitudes prises, on se relit mieux soi-même, on entre plus facilement dans les sujets (problèmes plus longs, avec des questions qui s’enchaînent) qui vous seront proposés dans l’enseignement supérieur. 1.2. PROPOSITIONS, DÉMONSTRATIONS, ETC. 3 1.1.3 Et il y a le calcul aussi Si faire des mathématiques, c’est essentiellement raisonner et montrer qu’on sait prouver que des propriétés sont vraies (en utilisant des hypothèses, et les connaissances précédemment acquises), il entre presque à chaque étape une part inévitable de technique : il faut “faire des calculs”. Rien de sert d’avoir les idées claires sur ce qu’on veut prouver si on est, en permanence, arrêté par des diﬃcultés d’ordre technique. Si on veut un jour arriver à une certaine sureté dans les phases calculatoires, rien ne remplace l’expérience patiemment acquise. Les deux piliers de la pratique des mathématiques sont certainement le raisonnement logique et la technique calculatoire. 1.1.4 Finalement, comment progresser ? On a tous des prédispositions diﬀérentes, mais il n’y a pas de fatalité. Il n’y a pas, déﬁnitivement, les bons en maths d’un coté (ceux qui ont “la bosse”) et les autres. Chacun peut progresser, en y mettant (au début en tout cas) le temps, les eﬀorts, et la discipline nécessaires, mais aussi de l’envie. D’ailleurs, le plaisir de faire des mathématiques, s’il n’est pas inné, se construit le plus souvent au ﬁl des exercices résolus, et par la découverte puis l’appropriation de nouvelles notions. Pour cela, il faut de bonnes bases, et consolider ces fondations. 1.2 Propositions, démonstrations, etc. Déﬁnition Une proposition est un énoncé dont on doit pouvoir dire qu’il est «vrai» ou «faux». On notera V et F (ou encore 1 et 0) les deux valeurs logiques possibles d’une proposition. Exemples : – «l’entier 2025 est un carré parfait» est une proposition vraie (car 2015 = 452). 4 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET ENSEMBLES – «l’entier 2027 est un carré parfait» est une proposition fausse (aucun carré ne se termine par 7). – «l’entier 2018 est somme de deux carrés » est une proposition vraie (en eﬀet 2018 = 132 + 432). – «l’entier 2019 est une somme de deux carrés» est une proposition fausse (si 2019 s’écrivait m2 + n2, raisonner suivant la parité de m et n). Déﬁnition Certaine propositions sont déclarées vraies à priori : ce sont les axiomes Sinon la véracité (ou la fausseté) d’une proposition doit résulter d’une démonstration (d’une preuve). Remarque : dans le cadre d’un cours de mathématiques, quand on énonce une proposition, c’est pour aﬃrmer qu’elle est vraie (et qu’on va la démon- trer) ! Déﬁnition Un théorème est une proposition vraie particulièrement importante. Un lemme est une proposition vraie, utile à la démonstration d’une proposition plus importante. Un corollaire est une proposition vraie,conséquence immédiate d’une autre proposition vraie. Une conjecture est une proposition qu’on pense généralement vraie, sans en avoir de preuve. Exemples : – «l’axiome de récurrence» dans N,«l’axiome de la borne supérieure» dans R. – «le théorème de Pythagore», «le théorème de Rolle»,«le théorème de Bolzano-Weierstrass». – «le lemme de bergers», «le lemme de Gauss»,«le lemme des noyaux». – «la conjecture de Syracuse», «la conjecture de Golbach». – «la conjecture de Fermat» est devenue le «grand théorème de Fermat» en 1994. 1.2. PROPOSITIONS, DÉMONSTRATIONS, ETC. 5 1.2.1 Ensembles, éléments On ne se risque pas à donner une déﬁnition précise de ces notions pre- mières, considérées comme intuitives. On sait qu’il existe, par exemple, des «ensembles de nombres» auxquels la tradition a donné un nom :N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), Q (nombres rationnels), R (nombres réels), C (nombres complexes), et que chacun de ces ensembles est strictement inclus dans le suivant. On sait également qu’il est possible de former des ensembles inclus dans les ensembles précédents. Par exemple : les entiers naturels impairs, les en- tiers relatifs multiples de 7, , les nombres rationnels strictement positifs, les réels de l’intervalle ]1, 4], les nombres complexes dont la partie réelle est né- gative ou nulle. Commençons donc par une déﬁnition qui n’en est pas vraiment une, tant elle ne fait que constater un état de fait : dans le monde des mathématiques, il y a des «éléments», qui sont regroupés sous la forme d’«ensembles». Déﬁnition(ensembles,éléments) On dit qu’un enemble E est constitué d’éléments et qu’un élément a appartient à E (on écrit a ∈E) ou n’appartient pas à E (on écrit a / ∈E). Deux ensembles E,F sont dits égaux (on note E = F) s’ils sont consti- tués des mêmes éléments. quelques remarques : – Un même objet mathématique peut, selon les circonstances, être vu comme un ensemble, ou comme un élément d’un ensemble. Par exemple,l’intervalle [0, 1] et un enemble de nombres réels, mais c’est également un élément de l’ensemble des intervalles de R. – Un ensemble ﬁni peut être déﬁni en extension, c’est-à-dire par la liste (non ordonnée) de ses éléments. C’est le cas par exemple de l’ensemble E = {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}. Dans une écriture comme {a, b, c, ...} les éléments a, b, c, ect. sont a priori supposés distincts, et l’ordre dans lequel ils sont donnés n’a au- cune importance. – un ensemble E peut être déﬁni en compréhension (c’est-à-dire par une 6 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET ENSEMBLES propriété caractérisant ses éléments). Ainsi E = n n(n+1) 2 , n ∈, 1 ≤n ≤10 o est une autre déﬁnition de {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}. . Il y a bien d’autres conventions pour déﬁnir ou nommer des ensembles. Par exemple : – Si a, b sont deux réels, [a, b[ est l’ensemble des réels x qui vériﬁent a ≤x < b. – Si E est un ensemble,P(E) est l’ensemble des parties de E. Déﬁnition(ensemble vide,singletons, paires) Par convention l’ensemble vide, noté ∅est l’ensemble ne contenant aucun élément. Un ensemble {a}, formé d’un seul élément est appelé un singleton. Un ensemble {a, b}, formé de deux éléments distincts est appelé une paire. 1.2.2 Propriétés portant sur les éléments d’un ensemble uploads/Philosophie/ math-prepa.pdf