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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Langage mathématique Eric Du

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Langage mathématique Eric Dumas, Emmanuel Peyre et Bernard Ycart Ce chapitre vous explique la règle du jeu mathématique. Rien n’est vraiment nou- veau ni compliqué. Pour donner des exemples d’énoncés, nous ferons appel à quelques notions de base sur les nombres entiers, que vous connaissez depuis longtemps. Table des matières 1 Cours 1 1.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Entraînement 27 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Compléments 52 3.1 La quantiﬁcation des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Ces longues chaînes de raisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Le Docteur Illuminé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Ramener l’inﬁni au ﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Lettres à une Princesse d’Allemagne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6 Froid dans le dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7 Le rêve de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.8 La langue universelle de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.9 Les cardinaux inﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.10 Ensembles quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.11 Démonstrations non constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.12 L’ensemble de tous les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 18 juillet 2015 Maths en Ligne Langage mathématique UJF Grenoble 1 Cours 1.1 Assertions On peut voir le langage mathématique comme un jeu de construction, dont le but est de fabriquer des énoncés vrais. La règle de base de ce jeu est qu’un énoncé mathématique ne peut être que vrai ou faux. Il ne peut pas être « presque vrai » ou « à moitié faux ». Une des contraintes sera donc d’éviter toute ambiguïté et chaque mot devra avoir un sens mathématique précis. Selon le cas, un énoncé mathématique pourra porter des noms diﬀérents. • assertion : c’est le terme que nous utiliserons le plus souvent pour désigner une aﬃrmation dont on peut dire si elle est vraie ou fausse. • théorème : c’est un résultat important, dont on démontre ou on admet qu’il est vrai, et qui doit être connu par cœur. • proposition : nous utiliserons ce terme pour désigner un résultat démontré, moins important qu’un théorème. • lemme : c’est un résultat démontré, qui constitue une étape dans la démonstra- tion d’un théorème. • corollaire : c’est une conséquence facile d’un théorème ou d’une proposition. Dans ce cours les démonstrations se terminent par un carré blanc, plutôt que par le célèbre CQFD (« ce qu’il fallait démontrer »). Pour écrire formellement des énoncés mathématiques, on utilise des lettres représentant des concepts (nombres, ensembles, fonctions, vecteurs, matrices, polynômes. . . ) avec des symboles logiques et des relations. Le but de ce chapitre étant d’illustrer la manipulation du langage, il ne comportera aucune diﬃculté mathématique. Nous en resterons à des énoncés très simples, que l’on prendra soin de toujours traduire en langage courant pour bien les comprendre. Dans ce qui suit les lettres m et n désignent des entiers naturels (0, 1, 2, . . .). Nous n’utiliserons que les symboles de comparaison (<, >, ⩽, ⩾) et de divisibilité ( | ). Rappelons que m | n (« m divise n ») si n est égal au produit km pour un certain entier k. n < 5 l’entier n est strictement inférieur à 5 n ⩾3 l’entier n est supérieur ou égal à 3 n | 12 l’entier n divise 12 2 | n l’entier n est divisible par 2 (il est pair) Pour combiner entre elles des assertions, on utilise les connecteurs de base suivants : • la négation (« non »), notée ¬ • la conjonction (« et »), notée ∧ • la disjonction (« ou »), notée ∨. Le tableau suivant est une table de vérité. Il décrit l’eﬀet des connecteurs sur deux assertions A et B, selon qu’elles sont vraies (V ) ou fausses (F), en disant dans chacun 1 Maths en Ligne Langage mathématique UJF Grenoble des 4 cas si l’assertion composée est elle-même vraie ou fausse. négation conjonction disjonction non et ou A B ¬A A ∧B A ∨B V V F V V V F F F V F V V F V F F V F F Le « ou » est toujours inclusif : A ou B signiﬁe que l’une au moins des deux assertions est vraie (peut-être les deux). Par opposition, le « ou exclusif » est vrai quand l’une des deux assertions est vraie mais pas les deux. Voici quelques assertions composées et leur traduction. ¬(n < 5) l’entier n n’est pas strictement inférieur à 5. (n < 5) ∧(2 | n) l’entier n est strictement inférieur à 5 et divisible par 2. (2 | n) ∨(3 | n) l’entier n est divisible par 2 ou par 3. Observez l’usage des parenthèses qui permettent d’isoler des assertions simples au sein d’une assertion composée. À partir des connecteurs de base, on en fabrique d’autres, uploads/Philosophie/ lm-pdf.pdf