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2010 - 2011 Éd. n° 2 POLLART Michel Mathématiques Bachelier en Informatique de

2010 - 2011 Éd. n° 2 POLLART Michel Mathématiques Bachelier en Informatique de Gestion 1ère année 1.CALCUL PROPOSITIONNEL ________________________________________________________ 3 2. ALGEBRE DES PARTIES D’UN ENSEMBLE ________________________________________ 20 3. ALGEBRE DE BOOLE _____________________________________________________________ 24 4. CALCUL MATRICIEL _____________________________________________________________ 51 5. ALGEBRE FINANCIERE _________________________________________________________ 103 2 1.Calcul propositionnel Nous étudions les outils logiques permettant d’une part de formaliser les données textuelles et d’autre part d’analyser les raisonnements. Ainsi, nous nous donnons un double objectif : - Tout d’abord, étudier les outils qui mettent en évidence les mécanismes de déduction. - Ensuite, voir l’analyse d’un texte et de l’argumentation comme une résolution de problèmes : la phase de représentation de l’information est la formalisation à l’aide de connecteurs logiques ; celle de traitement de l’information consiste à valider ou non le raisonnement, ou encore à apporter une conclusion logique au texte. 1. Outils de formalisation : les connecteurs logiques Afin d’introduire les connecteurs logiques (disjonction, conjonction, négation, implication, équiva- lence ), donnons-nous comme point de départ une phrase extraite d’un règlement hippique : « Le cheval franchit les haies et les rivières ou il est disqualifié. » Il semble, à première vue, que la compréhension de la phrase ne pose pas de problème. Tout un chacun interprète ce type d’information de la même façon. Est-ce si sûr ? Pour le voir, donnons-nous quelques outils permettant les comparaisons. Nous allons d’abord coder ce que nous appelons les « propositions élémentaires » : h : le cheval franchit les haies r : le cheval franchit les rivières d : le cheval est disqualifié Chacune de ces trois propositions peut être vraie ou fausse. Un outil de représentation de l’information va nous permettre de lister les différents cas susceptibles de se présenter : c’est la « table de vérité » ( Le terme « table » est lié à la présentation en tableau ; quant au terme « vérité », il est lié au caractère vrai ( codé « 1 » ) ou faux ( codé « 0 » ) des propositions ). Prenons les différents cas un à un : si la situation est en désaccord avec la phrase, nous portons un « 0 » dans la case correspondante. Si, inversement, la situation est en accord avec la phrase, nous portons un « 1 » dans la case correspondante. 3 Une première interprétation est décrite sur la figure 1. h r d h r d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Figure 1 Figure 2 Mais une seconde interprétation existe. Précisons-la. On peut très bien estimer qu’un cheval peut être disqualifié pour une autre raison que le non franchissement des haies ou des rivières. Le cas est représenté sur la figure 2. Nous allons maintenant tenter une formalisation du texte à l’aide des connecteurs logiques . . . et retrouver nos deux interprétations. Dans notre phrase, figurent deux symboles de liaison : et, ou. Nous allons les coder en utilisant les connecteurs logiques ∧, v et w. Précisons le sens de ces trois connecteurs. 4 Définition de la conjonction et des disjonctions Pour définir le connecteur de conjonction, noté ∧, nous utilisons une table de vérité. Partons de la phrase suivante : « Il pleut et il vente. » Nous avons deux propositions élémentaires reliées par une conjonction. Si nous codons « p » la proposition « il pleut » et « q » la proposition « il vente », nous avons la table de vérité du connecteur ∧ sur la figure 3. La phrase est vraie, p ∧ q vaut 1, lorsqu’il pleut, p vaut 1, et lorsqu’il vente, q vaut 1 ; la phrase est fausse, p ∧ q vaut 0, dans tous les autres cas. p q p ∧ q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Figure 3 Quant à la disjonction, une définition unique semble une gageure. Prenons un exemple. La famille de Monsieur et Madame Fourmi est à table. Maurice, le dernier enfant, a quelques problèmes avec son potage. Alors, Madame Fourmi : « Maurice, tu manges ta soupe ou tu as une fessée. » Après une légère hésitation, Maurice obéit à sa mère . . . puis émet un rot retentissant . . . et c’est la fessée adminis- trée par Monsieur Fourmi. Maurice, en pleurs : « C’est pas juste ! » Essayons de voir en quoi les interprétations des parents et de l’enfant différent. La divergence entre les protagonistes se situe dans le cas où Maurice mange sa soupe et a une fessée. C’est la dernière ligne de la table de vérité, si nous adoptons le même système que pour la conjonction. L’interprétation de Monsieur Fourmi est représentée figure 4. Le connecteur logique associé est noté « v » ; on l’appelle encore « et / ou », « ou ( inclusif ) ». s f s v f s f s w f 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 Figure 4 Figure 5 L’interprétation de Maurice est représentée figure 5. Le connecteur logique associé est noté « w » ; c’est le « ou (exclusif) ». Ce connecteur ne prend la valeur 1 que si une et une seule des propositions de base vaut 1, alors que, dans le cas du et / ou, la disjonction des deux propositions vaut 1 lorsqu’au moins une des propositions vaut 1. Sur les deux tables précédentes, nous avons codé « s » Maurice mange sa soupe et « f » Maurice a une fessée. Après avoir précisé la définition des connecteurs logiques intervenant dans notre phrase, revenons à la course et utilisons-les pour formaliser ; ayant défini deux disjonctions, nous arrivons à deux interprétations : ( h ∧ r ) w d ( h ∧ r ) v d 5 Il nous reste à voir maintenant en quoi les interprétations ci-dessus rejoignent celles proposées en début de paragraphe. Pour le faire, remplissons la table de la figure 6. h r d h ∧ r ( h ∧ r ) w d ( h ∧ r ) v d 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Figure 6 Explicitons les lignes 1 et 8. Considérons d’abord la ligne 1 : comme h vaut 0 ainsi que r, h ∧ r vaut 0 d’après la définition de « ∧ », ainsi h ∧ r vaut 0 et d vaut 0 ; que nous considérions ( h ∧ r ) w d ou ( h ∧ r ) v d nous obtenons 0. Pour la dernière ligne, h ∧ r vaut 1 puisque h et r valent 1 ; comme de plus d vaut 1, il y a suivant le choix du connecteur deux issues ( h ∧ r ) w d vaut 0, ( h ∧ r ) v d vaut 1. Si nous comparons aux interprétations proposées en début de paragraphe, ( h ∧ r ) v d correspond à la première, alors que ( h ∧ r ) w d correspond à la seconde. La démarche de formalisation a fait apparaître l’ambiguïté de la phrase. De plus, nous avons maintenant un outil formel permettant d’expliciter l’ambiguïté. Tentons une reformulation de la phrase : « Si le cheval n’est pas disqualifié, c’est qu’il a franchi les haies et les rivières. » En faisant, comme pour la phrase initiale, une analyse exhaustive des cas possibles, on s’aperçoit que l’on arrive, comme au départ, à une ambiguïté. Voyons, en formalisant le texte, comment nous pouvons lever cette ambiguïté. Nous allons définir ici trois nouveaux connecteurs logiques : la négation, notée ¬, l’implication ( si . . . alors . . . ), notée →, et l’équivalence, notée ↔. 6 Définition de l’implication, de l’équivalence et de la négation Mettons-nous dans la situation d’un club désirant se donner quelques repères de bon fonction- nement. On peut imaginer que le règlement intérieur contient la phrase : « Si vous êtes en retard, vous offrez l’apéritif. » Tentons d’examiner les différents cas possibles et de voir pour chacun s’il est en accord ou en désaccord avec la phrase. Parmi les quatre cas, un seul est en contradiction avec la phrase : une personne arrive en retard et n’offre pas l’apéritif. Nous définissons ici le connecteur d’implication logique, noté « → » : figure 7. La codification utilisée est la suivante : uploads/Philosophie/ math1ig.pdf