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mathématiques Compétences travaillées en mathématiques Informer et accompagner les professionnels de l’éducation Cycles 2 3 4 eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 1 Retrouvez Éduscol sur Raisonner Le programme de mathématiques du cycle 4 offre une place de choix à la compétence « raisonner » dans laquelle il regroupe les démarches suivantes : •  résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, écono- miques) : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre à l’essai plusieurs solutions ; •  mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui ; •  démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion ; •  fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise de l’argumentation. Chacune des étapes de résolution d’un problème (compréhension de l’énoncé et de la consigne, recherche, production et rédaction d’une solution) fait appel au raisonnement, processus mental permettant d’effectuer des inférences. Rappelons qu’une inférence est une opération mentale par laquelle on accepte qu’une proposition soit vraie en vertu de sa liaison avec d’autres propositions. Les phases de recherche, de production et de rédaction de preuve font appel à des raisonnements de différentes natures. Les raisonnements inductifs et abductifs, essentiellement mis en œuvre dans la phase de recherche, permettent d’aboutir à l’émission de conjectures qu’il s’agira ensuite de valider ou d’invalider. Si la production d’un contre-exemple suffit à invalider une conjecture, sa validation repose sur une démonstration, moyen mathématique d’accès à la vérité. On rappelle que « démontrer », c’est « donner à voir » les différentes étapes d’une preuve par la présentation, rédigée sous forme déductive, des liens logiques qui la sous-tendent. Le raisonnement inductif consiste à généraliser une propriété observée sur des cas particuliers. Il fonctionne selon le schéma suivant : constatant sur des exemples que, lorsque A est vraie, alors B est vraie, on émet la conjecture que (A implique B) est vraie. Le raisonnement abductif consiste à présumer une cause plausible d’un résultat observé. Il fonctionne selon le schéma suivant : pour démontrer que B est vraie, sachant que (A implique B) est vraie, on va démontrer que A est vraie. Le raisonnement abductif est notamment utilisé sous forme d’une analyse remontante, encore appelé chaînage arrière, qui consiste, à partir du résultat que l’on veut démontrer, à repérer une ou plusieurs propriétés (conditions suffisantes) qui, si elle(s) étaient établie(s), permettrai(en)t d’atteindre le résultat par application d’un théorème identifié. On substitue alors momentanément au problème de départ un (ou plusieurs) nouveau(x) problème(s) consistant à établir ces conditions intermédiaires. eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 2 CYCLE I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques 4 Retrouvez Éduscol sur Par la diversité et la multiplicité des situations particulières qu’elle permet d’observer, l’utilisation d’outils logiciels (de géométrie, de calcul, de simulation, de programmation) est un support aux raisonnements inductifs et abductifs et favorise la formulation de conjectures. Il est important de faire comprendre aux élèves le caractère incertain de toute conjecture et la nécessité, soit de l’invalider par la production d’un contre-exemple, soit de prouver sa vérité par une démonstration. Celle-ci fait appel au raisonnement déductif qui (entre autres) s’appuie sur : •  la déduction proprement dite (ou règle de détachement ou modus ponens), qui fonctionne selon le schéma suivant : sachant que (A implique B) est vraie et que A est vraie, on conclut que B est vraie. Le premier pas d’une déduction consiste à reconnaître une situation de réfé- rence A (une configuration géométrique, une situation de proportionnalité, une propriété de nombres, etc.) ; le second consiste à appliquer le théorème qui stipule que (A implique B) ; •  la disjonction de cas, qui fonctionne selon le schéma suivant : pour montrer que (A implique B), on sépare l’hypothèse A de départ en différents cas recouvrant toutes les possibilités et on montre que l’implication est vraie dans chacun des cas ; •  Le raisonnement par l’absurde (reductio ad absurbum) qui fonctionne selon le schéma sui- vant : pour montrer que A est vraie, on suppose qu’elle est fausse et par déduction on aboutit à une absurdité. Exemple : ABC est un triangle rectangle en C. On veut démontrer que C appartient au cercle de diamètre [AB]. On note O le milieu de [AB] et on remplace la proposition à démontrer par l’égalité OA=OB=OC ; pour atteindre ce résultat, on construit le symétrique C’ de C par rapport à O. Selon le principe du chaînage arrière, il suffit alors de montrer que AC’BC est un rectangle. eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 3 CYCLE I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques 4 Retrouvez Éduscol sur Afin de convaincre les élèves du rôle de la démonstration en mathématiques comme moyen d’accès à la vérité, il importe de leur apprendre à distinguer une propriété conjecturée ou vérifiée sur des exemples d’une propriété démontrée. Pour ce faire, le terme de « démonstration » ne doit pas être galvaudé et la seule illustration d’un raisonnement ne saurait être désignée comme telle. Par exemple, si l’illustration présentée ci-dessous constitue une image mentale pertinente de l’égalité entre l’aire du carré construit sur l’hypoténuse et la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit, elle ne saurait être présentée comme une démonstration du théorème de Pythagore. En revanche, certains théorèmes, énoncés de manière générale peuvent être démontrés uniquement sur des exemples choisis parce qu’ils donnent une bonne idée du cas général (on dit alors qu’ils sont « génériques »). Cela peut être par exemple le cas pour la démonstration des propriétés des opérations sur les fractions. De même, il convient de systématiquement qualifier les énoncés mathématiques selon leur statut, en distinguant définitions, théorèmes admis et théorèmes démontrés. Les théorèmes traduisant une propriété caractéristique pourront être formulés en distinguant dans leur énoncé le sens direct et le sens réciproque. Les notions mathématiques qui figurent au programme du cycle 4 offrent toutes des possibilités de raisonnement, soit dans l’accès à la preuve d’un énoncé, soit dans son utilisation. Il n’est pas question de démontrer tous les théorèmes ou propriétés figurant au programme, mais de déterminer en équipe pédagogique les démonstrations qui seront retenues sur toute la durée du cycle en raison de leur caractère formateur, de leur accessibilité aux élèves et de l’intérêt qu’elles présentent pour faciliter l’accès au sens des notions mises en jeu. L ’apprentissage du raisonnement et de la démonstration est un processus long et délicat qui doit se faire de manière progressive, dans la durée, et tenir compte des deux contraintes suivantes : •  tout d’abord, la nécessité de séparer les tâches de résolution du problème (recherche et obtention de la preuve) de celle de la rédaction d’un texte qui traduit l’organisation de la démonstration ; •  ensuite, l’apprentissage de la rédaction se fait notamment lorsque l’élève est confronté à l’expérience de la communication de sa solution. L ’envie de se faire comprendre associée à la critique de ses pairs est, pour un élève, un levier de progrès certainement plus puissant que la fourniture, par le professeur, d’un modèle de rédaction. Si, pour être communicable et compréhensible, une démonstration mathématique doit respecter des règles syntaxiques, il faut reconnaître que celles-ci ne sont pas naturelles pour les élèves. Des exigences exces- sives et prématurées d’un modèle de rédaction standardisée peuvent induire de leur part eduscol.education.fr/ressources-2016 - Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enseignement supérieur et de la Recherche - Mars 2016 4 CYCLE I Mathématiques I Compétences travaillées en mathématiques 4 Retrouvez Éduscol sur des comportements relevant de l’imitation plus que de la compréhension. En accordant une place disproportionnée aux activités purement formelles de nature rhétorique (« je sais que… or… donc »), on risque d’éloigner les élèves du raisonnement lui-même et du plaisir de chercher. Afin de ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expé- rimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan de preuve, etc.). Souvent imparfaites et inabouties, elles constituent de véritables objets d’étude pour la classe au cours d’un débat permettant de faire émerger progressivement les critères d’une rédaction performante, sans pour autant modéliser le travail. Progres- sivement, la phase de rédaction, entamée ou non en classe, sera dévolue aux élèves, en classe ou en dehors de la classe, en veillant à différencier les exigences de formalisme selon l’objectif d’apprentissage (le raisonnement ou la communication) et la capacité des élèves à entrer dans les codes de la démonstration. En particulier, il est tout à fait possible d’expri- mer dans le langage naturel un raisonnement mathématique tout en respectant parfaite- ment les uploads/Philosophie/ ra16-c4-math-raisonner-547836.pdf

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