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Christine Amory Françoise Bastin Jacqueline Crasborn Christophe Dozot Maths L1

Christine Amory Françoise Bastin Jacqueline Crasborn Christophe Dozot Maths L1 © Dunod, 2020 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoﬀ www.dunod.com ISBN 978-2-10-080796-3 Table des matières Problèmes élémentaires Fiche 1 Longueur et aire 1 Fiche 2 Longueur et volume 3 Fiche 3 Longueur, aire et volume 5 Fiche 4 Fractions 7 Fiche 5 Multiplication et division par des nombres décimaux, pourcentage 9 Fiche 6 Facture d’électricité 11 Fiche 7 Un sac de billes 13 Algèbre, logique et géométrie de base Fiche 8 Manipulation de réels 15 Fiche 9 Racine carrée 17 Fiche 10 Valeur absolue 19 Fiche 11 Inégalités et condition nécessaire, condition suﬃsante 21 Fiche 12 Inégalités et signes d’implication 23 Fiche 13 Inéquation avec module 25 Fiche 14 Union et intersection d’ensembles 27 Fiche 15 Manipulation de notations ensemblistes 29 Fiche 16 Un peu de logique 31 Fiche 17 Coniques avec paramètres 33 Fiche 18 Foyers d’une conique 35 Fiche 19 Équations cartésiennes et coniques 37 Fiche 20 Zéros d’un polynôme 39 Fiche 21 Fractions rationnelles 41 Nombres complexes Fiche 22 Partie imaginaire 43 Fiche 23 Un nombre complexe et son conjugué 45 Fiche 24 Solution d’une équation dans ℂ 47 III Table des matières Fiche 25 Passage aux coordonnées polaires 49 Fiche 26 Puissances d’un nombre complexe 51 Fiche 27 Nombres complexes et carré 53 Fiche 28 Inverse d’un nombre complexe non nul 55 Vecteurs Fiche 29 Propriétés des vecteurs 57 Fiche 30 Vecteur déﬁni par deux points 59 Fiche 31 Composantes d’un vecteur 61 Fiche 32 Équations d’une droite dans le plan 63 Fiche 33 Relations entre vecteurs 65 Fiche 34 Transformations de composantes de vecteurs 67 Généralités sur les fonctions Fiche 35 Domaine de déﬁnition, racines carrées et quotients 69 Fiche 36 Domaine de déﬁnition et racine carrée d’une fraction rationnelle 71 Fiche 37 Domaine de déﬁnition, logarithme et racine carrée 73 Fiche 38 Domaine de déﬁnition d’une fonction de fonction 75 Fiche 39 Image d’une fonction 77 Fiche 40 Fonctions paires et fonctions impaires 79 Fiche 41 Fonctions périodiques 81 Fiche 42 Produit de fonctions et monotonie 83 Fiche 43 Monotonie 85 Fiche 44 Monotonie et concavité d’une fonction de fonction 87 Fiche 45 Concavité, monotonie, graphique 89 Trigonométrie Fiche 46 Cosinus d’un réel 91 Fiche 47 Sinus d’un entier 93 Fiche 48 Cosinus d’un réel particulier 95 Fiche 49 Sinus d’un cosinus 97 Fiche 50 Calcul d’un sinus à partir de la valeur d’une tangente 99 IV Table des matières Fiche 51 Simpliﬁcation d’une expression trigonométrique avec des produits 101 Fiche 52 Simpliﬁcation d’une expression trigonométrique avec une somme 103 Fiche 53 Équation avec une seule fonction trigonométrique 105 Fiche 54 Équation avec deux fonctions trigonométriques 107 Fiche 55 Inéquation trigonométrique 109 Fiche 56 Aire d’un triangle 111 Fiche 57 Fonction trigonométrique et son inverse 113 Fiche 58 Fonction trigonométrique et inverse d’une autre 115 Limites Fiche 59 Limite en un réel d’un quotient avec une valeur absolue 117 Fiche 60 Limite en un réel d’une fraction irrationnelle 119 Fiche 61 Limite en un réel d’une fonction irrationnelle 121 Fiche 62 Limite en un réel d’un quotient de fonctions trigonométriques 123 Fiche 63 Limite en l’inﬁni d’une fonction irrationnelle 125 Fiche 64 Limite en l’inﬁni d’une fonction trigonométrique 127 Fiche 65 Limite en l’inﬁni d’un quotient d’exponentielles 129 Fiche 66 Limite d’une fonction comparée à une autre fonction 131 Fiche 67 Recherche d’une asymptote au graphique d’une fonction 133 Fiche 68 Limite en un réel d’un produit de deux fonctions 135 Fiche 69 Limite, condition nécessaire et condition suﬃsante 137 Dérivées Fiche 70 Dérivation de base (polynôme) 139 Fiche 71 Dérivée et logarithme 141 Fiche 72 Dérivée et fonctions trigonométriques 143 Fiche 73 Dérivée d’une fonction particulière 145 Fiche 74 Dérivée et valeur absolue 147 Fiche 75 Dérivée et formules trigonométriques 149 Fiche 76 Dérivation et continuité 151 Fiche 77 Dérivée première et dérivée seconde 153 Fiche 78 Comparaison de fonctions 155 V Table des matières Fiche 79 Dérivée et constante 157 Fiche 80 Dérivation et graphique 159 Fiche 81 Application de la dérivation 161 Primitives Fiche 82 Calcul d’une primitive 163 Fiche 83 Fonction trigonométrique dont on donne une primitive 165 Fiche 84 Fonction dont on donne une primitive avec logarithme 167 Fiche 85 Primitivation et opérations sur les fonctions 169 Fiche 86 Primitive vériﬁant une condition 171 Fiche 87 Primitivation d’une fonction non donnée explicitement 173 Fiche 88 Primitivation d’une fraction rationnelle 175 Fiche 89 Primitive d’une fonction avec valeur absolue 177 Fiche 90 Graphique d’une primitive et propriétés de la fonction 179 Fiche 91 Graphique d’une fonction et propriétés d’une primitive 181 Fiche 92 Parité d’une fonction et parité d’une primitive 183 Calcul intégral Fiche 93 Intégrale 185 Fiche 94 Intégrale d’une fonction trigonométrique 187 Fiche 95 Intégrale d’une somme ou d’un produit 189 Fiche 96 Intégrale d’une somme 191 Fiche 97 Signe d’une intégrale 193 Fiche 98 Calcul d’aire 195 Fiche 99 Intégrabilité 197 Fiche 100 Intégrabilité, limites et dérivation 199 Fiche 101 Intégrale et fonction 201 Équations différentielles Fiche 102 Équation diﬀérentielle 203 Fiche 103 Vériﬁcation d’une solution d’une équation diﬀérentielle 205 Fiche 104 Combinaisons linéaires et équation diﬀérentielle 207 VI Table des matières Fiches supplémentaires Fiche 105 Vecteurs 209 Fiche 106 Centre de gravité d’un triangle 211 Fiche 107 Produit scalaire 213 Fiche 108 Fonction inverse 215 Fiche 109 Déﬁnition d’un polynôme 217 Fiche 110 Théorème de l’Hospital 219 Fiche 111 Accroissements ﬁnis 221 Fiche 112 Développement de Taylor 223 Fiche 113 Approximation polynomiale 225 Fiche 114 Déﬁnition d’une primitive 227 Index 229 VII Avant-propos Cet ouvrage est conçu pour apporter une aide à la compréhension de notions ma- thématiques de base. Il présente tout d’abord des petits problèmes élémentaires faisant notamment appel au système métrique. Ensuite, la matière traitée concerne des manipulations des nombres réels, la logique classique élémentaire, les poly- nômes, les nombres complexes, les vecteurs, les fonctions et notions associées, la trigonométrie. Enﬁn, les derniers thèmes abordés sont les limites des valeurs de fonctions, les dérivées, les primitives et les intégrales. L’ouvrage est constitué de ﬁches de deux pages et l’outil pédagogique qui y est développé entre dans le cadre de l’apprentissage par l’erreur. Il s’inscrit dans la thé- matique « Je me trompe, je comprends pourquoi, donc j’apprends ». Chaque ﬁche débute ainsi par un énoncé de question sous forme de QCM (sauf pour une dizaine de ﬁches en ﬁn d’ouvrage), lequel est immédiatement suivi d’une ou plusieurs ré- ponses erronées rencontrées fréquemment. Viennent alors un guide pour acquérir des réﬂexes permettant de répondre correctement avec une eﬃcacité maximale, la réponse correcte, une analyse des raisons éventuelles amenant à choisir une réponse incorrecte, à tomber dans un piège. Enﬁn, la ﬁche s’achève par des rappels théo- riques utiles aux notions qui interviennent dans la réponse à la question posée ou présente des connaissances qui oﬀrent au lecteur la possibilité d’aller plus loin. Commettre une erreur et y être confronté, comprendre son analyse, le mécanisme qui y conduit, peut se révéler un bon outil pour progresser, acquérir de bons réﬂexes et un apprentissage solide. Le succès ne consiste pas à ne jamais faire d’erreur mais à ne jamais faire la même erreur deux fois. George Bernard Shaw Apprendre sans réﬂéchir est vain. Réﬂéchir sans apprendre est dangereux. Confucius If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is. John von Neumann Note : cet ouvrage s’est très abondamment inspiré du manuscrit MATHS, 1350 cm3 d’exercices corrigés pour la licence 1, Dunod 2019, des mêmes auteurs. Et l’ouvrage ANALYSE, Premières notions fondamentales, UCL Presses universitaires de Louvain, 2007, Abdou Kouider Ben-Naoum, a inﬂuencé la conception de deux ou trois ﬁches. VIII Je me trompe donc j'apprends ! p j pp J TP19-0429_Book — 26/06/2020 13 ALGÈBRE, LOGIQUE ET GÉOMÉTRIE DE BASE Inéquation avec module Énoncé On considère l’inéquation 1 − ≤2 en l’inconnue réelle . Parmi les aﬃrmations suivantes, laquelle est incorrecte ? (a) Tous les réels négatifs sont solutions de l’inéquation. (b) L’inéquation possède au moins une solution réelle strictement positive. (c) L’inéquation possède au moins une solution réelle strictement positive et une solution réelle strictement négative. (d) L’inéquation possède des solutions strictement plus grandes que 1. (e) Aucune des propositions précédentes n’est correcte. Réponse erronée fréquente (a) Réﬂexes pour répondre correctement Pour répondre, on peut bien sûr tout d’abord résoudre l’inéquation. Lorsque le réel 1 − est positif, on a 1 − = 1 − ; on doit donc trouver les solutions de l’inéquation (1 −) ≤2 en tenant compte de ≤1. On a (1 −) ≤2 ⇔−2 + −2 ≤0. Comme le discriminant du polynôme du second degré du membre de gauche est strictement négatif et que le coeﬃcient du carré de la variable est négatif, l’inéquation est vériﬁée quel que soit le réel . Les solutions de l’inéquation de départ dans ce cas sont donc les réels de l’intervalle ] −∞, 1]. Lorsque le réel 1 − est strictement négatif, on a 1 − = −1 ; on doit donc trouver uploads/Philosophie/ dunod-5.pdf