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9 Chapitre 1 Théorie des plaques La modélisation des plaques de formes géométri

9 Chapitre 1 Théorie des plaques La modélisation des plaques de formes géométriques irrégulières par la méthode des éléments finis 1-1) Recherche bibliographie des plaques: 1-2) Introduction: Un très grand nombre d'éléments finis de plaques en flexion a été développé. Les éléments finis de plaque peuvent se classer en deux type: éléments de type Kirchhoff, éléments de type Reissner/Mindlin, les éléments de plaques de type Kirchhoff sont relativement difficiles à formuler. Le premier élément de plaque triangulaire de type Kirchhoff a un déplacement w et deux rotations aux nœuds [30]. Mais cet élément ne peut pas passer les patch-tests parce que la continuité de la rotation normale n'est pas satisfaite. Nous notons toutefois que d'un point de vue numérique, de nombreux éléments basés sur la théorie de love-Kirchhoff ont été développés avec éventuellement la prise en compte des effets de membrane. Ces éléments de plaque sont généralement basés sur des hypothèses cinématiques et sont limités aux plaques minces. D'autres éléments basés sur les hypothèses de type Mindlin ont été développés permettant ainsi de traiter les plaques épaisses. 1-3) Eléments de type Kirchhoff: Plusieurs éléments finis de plaques ont été proposés à partir de 1968, permettant d’obtenir des solutions numériques des problèmes de plaques minces en accord avec les hypothèses de Kirchhoff. Les éléments de plaque de type Kirchhoff discret ont été formulés par Dhatt et Batoz et al. L'énergie de cisaillement transversal est négligée et l'hypothèse de Kirchhoff est introduite de façon discrète [5] (en certain point, sur les cotes d'un élément ou sur l'aire d'un élément). Beaucoup d'autres chercheurs ont également apporté leurs contributions à ce type d'éléments [1]. Un grand nombre d'élément de plaque triangulaire à 9 degrés de liberté (ddl) a été formulé, tels HCT (Hsieh Clough- Toucher), DKT (Discrète Kirchhoff Triangle). Il a suscité un intérêt considérable dans le développement de l'élément de plaque depuis leur usage est devenu populaire pour représenter le comportement des éléments de coque. Beaucoup d'éléments de plaque ont été développées. [23] ont présenté un examen de tous les éléments flexion de plaque comme une partie de l'étude sur l'efficacité des éléments de plaque de pliage. [13] ont élaboré le volet plaque triangulaire flexion en divisant le triangle principal à trois subtriangles. [8]. Ils ont développé un élément triangulaire de flexion de plaque en utilisant des fonctions de forme basée sur les coordonnées. L'élément de plaque non conforme ne passe pas le test cutané pour certains modèles de maillage, et l'élément confirmant est coûteux en raison du régime d'intégration afin numériques nécessaires pour déterminer la matrice de rigidité de l'élément. Batoz et al. (1980) ont développé plusieurs éléments triangulaires efficaces de flexion de plaque pour l'analyse des plaques et coques. Ces éléments ont deux degrés de liberté en rotation et un degré de liberté en translation à chaque nœud pour un total de 9 degrés de liberté. Ils ont développé trois types d'éléments de flexion de plaque: le première élément DKT repose sur des hypothèses discrets de Théorie de Kirchoff, le deuxième élément HSM basé sur la Méthode hybride de stress, de surmonter les problèmes dans le développement de modèles de déplacements, et le troisième élément SRI fondé sur un schéma d’intégration sélective réduit qui comprend une déformation de cisaillement transversale. [3] ont comparé les résultats obtenus pour ces éléments. Ils ont constaté que les éléments DKT et HSM sont plus efficaces que 10 Chapitre 1 Théorie des plaques La modélisation des plaques de formes géométriques irrégulières par la méthode des éléments finis l'élément ISR. Ils ont également constaté que l'élément DKT donne de meilleurs résultats que l'élément HSM parce que l'élément DKT nécessite moins de stockage par rapport à l'élément HSM. Les éléments quadrilatère de flexion de plaque sont simplifiés dans l'analyse des structures de la dalle et sont utilisés dans la formulation des éléments de coque pour l'analyse des structures régulières en forme de coquillage. Les tentatives antérieures d'élaborer des éléments quadrilatère mince impliqués combinant quatre éléments triangulaire de plaque [7]. Toutefois, leur formulation a été très compliquée.[27]. a développé un élément quadrilatère de quatre nœuds à l'aide des fonctions de forme isoparamétriques. Cet élément donne de très bons résultats pour la flexion de plaque. [36] ont développé l’élément de flexion de plaque, LORA basée sur des paramètres de stress plutôt que de champs de déplacement. Cet élément donne aussi de très bons résultats pour la flexion de plaque. Batoz et Tahar (1982) Ont mis au point un élément de quatre nœuds quadrilatère basé sur la théorie discrète Kirchhoff. La base de la formulation de cet élément a été la discret Kirchhoff triangulaire (DKT) élément développé plus tôt [3]. La plaque quadrilatère flexion élément (DKQ) formulée par [7]. et l'élément triangulaire de flexion de plaque (DKT) formulé par [3], sont basés sur les hypothèses de Kirchhoff discrète, dans laquelle la déformation de cisaillement transversal est négligée. Ils ont considéré que la déformation de cisaillement transversal est présente dans l'élément développement initial, puis ils ont supprimé le terme cisaillement transversal de contrainte en appliquant des contraintes discrètes Kirchhoff. [7] Ont mené plusieurs tests sur ces éléments. 1-4) Eléments de type Reissner/Mindlin: Les éléments de plaque basés sur la théorie de Reissner/Mindlin sont présentés par [5], et [2], et [28]. Dans le cas des éléments avec cisaillement transversal (DST, DSQ et Q4G), pour éviter le blocage des éléments en cisaillement transverse (surestimation de la rigidité pour des épaisseurs très faibles), une méthode consiste à construire des champs de cisaillement et de substitution constants sur les bords de l’élément, les éléments de plaque avec du cisaillement transverse utilisent cette méthode de façon a ne pas bloquer en cisaillement transverse. Ce blocage en cisaillement vient du fait que l’énergie élastique de cisaillement est un terme proportionnel à h (h étant l’épaisseur de la plaque), bien plus grand que le terme d’énergie élastique de flexion qui est proportionnel en h3. Quand l’épaisseur devient faible devant la longueur caractéristique (le rapport h / L est inférieur a 1/20), pour certaines fonctions de forme, la minimisation du terme prépondérant en h conduit a une mauvaise représentation des modes de flexion pure, pour lesquels la flèche n’est plus calculée correctement. Belarbi M.T. et Charif A, en 1998 Nouveau hexaèdre simple [9] « SBH8 » pour l’étude des plaques minces et épaisses. Belarbi M.T. et Charif A, en 1999 développement d’un nouvel élément hexaédrique simple basé sur le modèle en déformation pour l’étude des plaques minces et épaisses [10]. Le nouvel élément hexaédrique simple a huit nœuds et trois degrés de liberté par nœud (U, V et W) basé sur le modèle en déformation, cet élément est numériquement plus performant que le modèle de déplacement. Sa précision est 11 Chapitre 1 Théorie des plaques La modélisation des plaques de formes géométriques irrégulières par la méthode des éléments finis évaluée à travers une série de cas de-tests standards ou non standards relatifs aux problèmes de plaques mince et épaisses. L. Belounar, M.Guenfoud en 2005. Un nouvel élément fini rectangulaire basé sur l'approche de contrainte pour flexion de plaque, pour l'analyse linéaire de la plaque de flexion avec effet de cisaillement transverse [12]. Le champ des déplacements de l'élément a été développé par l'utilisation de l'approche basée sur Stran et elle est basée aussi sur les fonctions supposées indépendantes pour les différentes composantes de la déformation dans la mesure où elle est autorisée par les équations de compatibilité. L'élément possède trois degrés essentiels extérieurs de la liberté de chacun des quatre nœuds d'angle et satisfait à la représentation exacte des modes de corps rigide de déplacement. Cet élément se trouve numériquement plus efficace que les déplacements correspondants à base d'élément et sa précision est évaluée à travers une série de cas de tests relatifs à des plaques minces et épaisses. 2-1) Définition d'une plaque: Une plaque est un solide défini par une surface de référence plane (plan x,y) et par une petite épaisseur (notée h(x,y)), par rapport aux autres dimensions ,à savoir la longueur et la largeur [5] . Suivant l'ordre de grandeur de h par rapport aux autres dimensions, on introduit l'adjectif mince au épaisse aux plaques et aux coques. Cependant, ce qualificatif n'implique pas seulement une caractéristique géométrique, mais définit aussi un rôle particulier des déformations dites de cisaillement transversal (CT). Cette influence est d'autant plus importante que les structures sont minces car l'épaisseur h varie en sens inverse de l'influence CT. La plaque peut être constituée d'un matériau homogène. Ces plaques sont souvent suivies de l'adjectif mince ou épais suivant la grandeur de l'épaisseur h, nous admettons généralement [33]. 4 1 20 1  L h * pour les plaques épaisses. p h y x, y L x L z y x Figure (1-1): Géométrie d'une plaque h 12 Chapitre 1 Théorie des plaques La modélisation des plaques de formes géométriques irrégulières par la méthode des éléments finis 20 1  L h * Pour les plaques minces. Hypothèses : La théorie des plaques repose sur les hypothèses suivantes : H.1 : Les contraintes normales σzz sont négligeables uploads/Philosophie/ recherche-bibliographie-des-plaques.pdf