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Théorie des Jeux Sébastien Rouillon 2017 (première version, 2016) Plan 6. Sélec

Théorie des Jeux Sébastien Rouillon 2017 (première version, 2016) Plan 6. Sélection adverse 7. Jeux de signal 8. Jeux coopératifs 9. Préparation du partiel & Exercices 1. Introduction 2. Forme stratégique 3. Forme extensive 4. Jeux & information 5. Equilibre bayésien Bibliographie G. Demange et J.-P. Ponssard, Théorie des jeux et analyse économique, PUF, 1994.*** N. Eber, Théorie des jeux, Dunod, 2004.* B. Guerrien, La théorie des jeux, Economica, 1993.* D. M. Kreps, Leçons de théorie microéconomique, 1996.*** E. Rasmusen, Jeux et information, de Boeck, 2004.** M. Yildizoglu, Introduction à la théorie des jeux, Dunod, 2003.** Wikipédia : https://en.wikipedia.org/wiki/Game_theory Notation : * = Facile ; ** = Intermédiare ; *** Avancé. 1 Introduction La théorie des jeux modélise et étudie des situations de conflit et/ou de coopération entre des individus supposés rationnels. Les domaines d’application sont nombreux : biologie, économie, politique, guerre… 1.1 Une démarche axiomatique La théorie des jeux postule que les joueurs ont des objectifs bien identifiés et sont rationnels au sens fort. Les joueurs choisissent leur action pour maximiser leurs objectifs, en sachant que les autres font de même. En ce sens, la théorie des jeux n’étudie pas le comportement d’individus réels, mais en donne plutôt une représentation stylisée. Par contre, ses prédictions peuvent être confrontées aux comportements observables (Cf. éco. expérimentale). 1.1 Démarche axiomatique 1.2 Galerie de portraits Antoine-Augustin Cournot (1801-1877). Mathématicien. On lui doit la première analyse de la concurrence duopolistique. 1.2 Galerie de portraits Ernst Zermelo (1871-1953). Mathématicien et physicien. Il démontre un théorème impliquant que les échecs ont une solution (soit l’un des camps a une stratégie gagnante, soit les deux peuvent forcer un pat). 1.2 Galerie de portraits John von Neumann (1903-1957). Mathématicien et physicien. Il publie en 1944, avec Oskar Morgenstern, l’ouvrage « Theory of Games and Economic Behavior », consacrant la théorie des jeux comme discipline. 1.2 Galerie de portraits John Forbes Nash Jr. (1928-2015). Mathématicien. On lui doit la définition de l’équilibre de Nash et la mise en évidence de conditions assurant son existence. 1.2 Galerie de portraits John Harsanyi (1920-2000). Economiste. Il ouvre la voix à l’analyse de jeux avec information incomplète (le poker, par ex.). 2 Jeux sous forme stratégique Définition. On définit un jeu sous forme stratégique (ou normale), en donnant un ensemble de joueurs N = {1, …, n}, un ensemble de stratégies si Є Si, pour chaque joueur i, et une fonction d’utilité ui(s1, …, sn), définie pour tout profil de stratégies (s1, …, sn), pour chaque joueur i. 2.1 Quelques exemples Dilemme du prisonnier. N = {1, 2} = les deux voleurs présumés ; si Є Si = {(D)énoncer, (T)aire} ; (s1, s2) (D, D) (T, D) (D, T) (T, T) u1(s1, s2) -2 -3 1 0 u2(s1, s2) -2 1 -3 0 Duopole de Cournot. N = {1, 2} = les deux firmes ; si ≥ 0 = la quantité offerte ; ui(s1, s2) = P(s1 + s2) si – Ci(si), où : P(q) = la fonction de demande inverse ; Ci(qi) = le coût de production de i. 2.1 Quelques exemples Duopole de Bertrand. N = {1, 2} = les deux firmes ; si ≥ 0 = le prix offert par la firme i ; = si D(si) – Ci(D(si)), si si < sj, ui(s1, s2) = si D(si)/2 – Ci(D(si)/2), si si = sj, = 0, si si > sj, où : D(p) = la fonction de demande ; Ci(qi) = le coût de production de i. 2.1 Quelques exemples 2.2 Matrice des gains Définition. Un jeu fini entre 2 joueurs est représentable au moyen d’une matrice des gains, construite : • en listant les stratégies d’un joueur en lignes et celles de l’autre en colonnes, • en portant, dans chaque cellule, les gains des joueurs, correspondant à chaque combinaison stratégique. 2.2 Matrice des gains Ainsi, la matrice des gains du jeu : {N = {1, 2}, S1 = {a, b}, S2 = {x, y}, u1(.) et u2(.)}, se présente comme suit : Joueur 2 (x) (y) (a) (u1(a, x), u2(a, x)) (u1(a, y), u2(a, y)) Joueur 1 (b) (u1(b, x), u2(b, x)) (u1(b, y), u2(b, y)) 2.2 Matrice des gains Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}, S1 = S2 = {D, T}. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0) 2.3 Concepts de solution d’un jeu Définition. Un profil stratégique (s1*, …, sn*) est une solution d’un jeu si on peut justifier que des joueurs rationnels, guidés par leur intérêt personnel, le jouerait. 2.4 Stratégie dominante Définition. On dit qu’une stratégie si* d’un joueur est une stratégie dominante si, quel que soit le profil des stratégies (s1, …, si-1, si+1, … sn) des autres joueurs, le gain du joueur est maximum lorsqu’il joue cette stratégie. 2.4 Stratégie dominante Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}. S1 = S2 = {D, T}. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0) 2.4 Stratégie dominante Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}. S1 = S2 = {D, T}. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0) s1* = D est une strat. dom. du joueur 1. 2.4 Stratégie dominante Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}. S1 = S2 = {D, T}. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0) s2* = D est une strat. dom. du joueur 2. 2.5 Eq. en stratégies dom. Définition. On dit qu’un jeu possède un équilibre en stratégies dominantes s’il admet un profil stratégique (s1*, …, sn*) composé uniquement de stratégies dominantes des joueurs. Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}. S1 = S2 = {D, T}. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0) 2.5 Eq. en stratégies dom. Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}. S1 = S2 = {D, T}. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0) s1* = D est une strat. dom. du joueur 1. 2.5 Eq. en stratégies dom. Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}. S1 = S2 = {D, T}. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0) s2* = D est une strat. dom. du joueur 2. 2.5 Eq. en stratégies dom. Dilemme du prisonnier. N = {1, 2}. S1 = S2 = {D, T}. Joueur 2 (D) (T) (D) (-2, -2) (1, -3) Joueur 1 (T) (-3, 1) (0, 0) 2.5 Eq. en stratégies dom. (s1*, s2*) = (D, D) est un éq. en strat. dom. Enchères au second prix. N = {1, 2} = les deux enchérisseurs ; si ≥ 0 = l’enchère annoncée par i ; ui(s1, s2) = vi – sj, si si > sj, = 0, sinon, où : vi = la valeur du bien pour i. 2.5 Eq. en stratégies dom. Enchères au second prix. La stratégie s1’ = v1 du joueur 1 domine toutes ses autres stratégies. Graphiquement, on vérifie que u1(s1’, s2) ≥ u1(s1, s2), quelles que soient s1 et s2. On obtient le même résultat pour le joueur 2. u1(.) u1(.) s2 s1 s2 v1 v1 v1–s2 Cas où s2 > v1. s1 v1–s2 Cas où s2 < v1. 2.5 Eq. en stratégies dom. Enchères au second prix. On trouve que le profil stratégique (s1*, s2*) = (v1, v2) est un équilibre en stratégie dominante du jeu d’enchères au second prix. Autrement dit, des joueurs rationnels devraient enchérir un prix reflétant fidèlement la valeur qu’ils attribuent au bien. 2.5 Eq. en stratégies dom. Guerre des prix. N = {1, 2}. S1 = S2 = {p, P}. Joueur 2 (p) (P) (p) (1, 1) (3, 0) Joueur 1 (P) (0, 3) (2, 2) Ce jeu admet-il un éq. en stratégie dominante ? 2.5 Eq. en stratégies dom. Guerre des sexes. N = {♂, ♀}. S1 = S2 = {(F)oot, (S)oldes}. Joueur ♀ (F) (S) (F) (2, 1) (0, 0) Joueur ♂ (S) (0, 0) (1, 2) Ce jeu admet-il un éq. en stratégie dominante ? 2.5 Eq. en stratégies dom. 2.6 Stratégies dominées Définition. On dit qu’une stratégie si d’un joueur i est (resp., strictement) dominée par une autre stratégie si’ de ce joueur si, quel que soit le profil des stratégies (s1, …, si-1, si+1, … sn) des autres, le gain de ce joueur est (res., strictement) plus grand lorsqu’il joue si’. 2.6 Stratégies dominées Jeu abstrait 1. N = {1, 2}. S1 = {B, M, H} et S2 = {G, C, D}. Joueur 2 (G) (C) (D) (H) (3, 1) (8, 0) (2, 6) Joueur 1 (M) (4, 3) (2, 2) (3, 0) (B) (3, 2) (3, 1) (4, 1) 2.6 Stratégies dominées Jeu abstrait 1. Pour le joueur 2, la strat. (C) est dominée par (G). Joueur 2 (G) (C) (D) (H) (3, 1) (8, 0) (2, 6) Joueur 1 (M) (4, 3) (2, 2) (3, 0) uploads/Philosophie/ refman-8-0-en.pdf