Révision : Mathématique lycée 23 janvier 2018 1 Nombres 1.1 Alphabet grecque α

Révision : Mathématique lycée 23 janvier 2018 1 Nombres 1.1 Alphabet grecque α alpha ν nu β beta ξ Ξ xi γ Γ gamma o omicron δ ∆ delta π Π pi ε epsilon ρ rho ζ zeta σ Σ sigma ι iota τ tau κ kappaχ ki λ Λ lambda ψ Ψ psi µ mu ω Ω omega 1.2 nombres entiers N := {0, 1, 2, 3, · · · } , N∗:= {1, 2, 3, · · · } Les nombre naturels sont utilisés pour la récurrence. Soit Pn est une assertion qui dépend de n ∈N, n ⩾n0. Si Pn0 est vrai et si Pn implique Pn+1 (hérédité), alors Pn est vrai pour tout n ⩾n0. Z := N ∪{−n : n ∈N} 1.3 nombres rationnels Q = p q : q ∈N∗, p ∈Z Si z ∈Q, il existe q ∈N∗, p ∈Z tel que z = p q, mais cette écriture n’est pas unique. On a p1 q1 = p2 q2 ssi p1q2 = p2q1. On cherchera donc toujours à écrire z = p q tel que le plus grand diviseur commun entre p et q soit égal à un. D’ailleurs on rappelle que p1 q1 + p2 q2 = p1q2 + p2q1 q1q2 1 1.4 nombres réels R, R∗= R \ {0} soit x, y ∈R valeur absolue |x| :=  x x ⩾0 −x x ⩽0 identité remarquable x2 −y2 = (x −y)(x + y) partie entière [x] :=  x ∈Z x ⩽[x] < x + 1 La fonction valeur absolue f : R →R, f(x) = |x| est dérivable sur R∗. Elle n’est pas dérviable en x = 0. D’ailleurs √ x2 = |x|. 1.4.1 Puissances Soit n ∈N∗ x ∈R : xn := x × · · · × x | {z } n-fois , x ∈R∗: x−n = 1 xn x > 0 : x1/2 = √x unique solution positive de t2 = x x ∈R : x1/3 = 3 √x unique solution de t3 = x x > 0, n pair : x1/n = n √x unique solution positive de tn = x x ∈R, n impair : x1/n = n √x unique solution de t3 = x 1.4.2 Résoudre des (in)équations On note par S l’ensemble de solution d’une (in)équation. |x| = a ⇒ S =  ∅ a < 0 {−a, a} a ⩾0. |x| ⩽a ⇒ S =  ∅ a < 0 [−a, a] a ⩾0. Exercice 1. Résoudre sans calculer le discriminent 1. x2 −1 = 0 2. x2 + 3x = 0 3. x2 −6x + 9 = 0 Exercice 2. Résoudre les inéquations 1. (2x + 1)(x + 2) ⩽0 2. 2x+1 x+2 ⩽0 2 3. x−2 x+3 − x x−1 ⩽0 Exercice 3. Résoudre 1. | −3 + 4| = 7 2. |x −11| ⩽3 1.5 nombres complexes C = {x + iy : x, y ∈R} . 1.6 nombres complexes C 2 Fonctions usuelles Une fonction f : I →R est dérivable en x ∈I si la limite lim h→0 h̸=0,x+h∈I f(x+h)−f(x) h existe. Dans ce cas cette limite est f′(x). f est dérivaeble sur I, si f est dérivable en tout x ∈I. Dans ce cas f′ : I →R, x →f′(x) est la fonction dérivée. F : I →R est une primitive de f, si F′ : f. Nous avons les règles de calcul suivantes : Soit u, v dérivables (uv)′ = u′v + uv′, u v  = u′v −uv′ v2 Soit I = [a; b]. Si f admet une primitive F on a Z b a f(x) dx = F(b) −F(a). L’intégrale est aussi l’aire sous la courbe de f, « sous »veut dire veut dire par rapport à l’axe des abscisses. 2.1 Polynômes et fonctions rationnelles 2.2 Logarithme et exponentielle L’exponentielle exp : R →R exp(x) = ex est strictement croissante. On a lim x→−∞ex = 0, lim x→+∞ex = +∞. Sa fonction réciproque est ln :]0, +∞[→R. On a donc y > 0 : eln(y) = y x ∈R : ln(ex) = x. D’ailleurs ln(x) = Rx 1 1 t dt. ln(xy) = ln(x) + ln(y), ex+y = exey. ln′(x) = 1 x, exp′(x) = exp(x). 3 On peut définir la puissance généralisée α ∈R, x > 0 : xα = eα ln(x) Exercice 4. A partir de l’équation fonctionnelle ln(xy) = ln(x) + ln(y) pour x, y > 0 démontrer que 1. ln(1) = 0 2. ln( 1 x) = −ln(x) 3. exp étant la fonction réciproque de ln. Pour tout x, y ∈R on a exp(x + y) = exp(x) exp(y) et exp(−x) = 1 exp(x) Exercice 5. Comparer les deux fonctions (domaine de définition, variations) f(x) = ln(1 + x) −ln(1 −x), g(x) = ln(|1 + x| |1 −x|) 2.3 Fonctions trigonométriques sin est strictement croissante sur [−π 2 ; π 2 ] cos est strictement croissante sur [0; π] sin2(x) + cos2(x) = 1, sin(−x) = −sin(x), cos(−x) = cos(x) sin(x + y) = cos(x) cos(y) −sin(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y) cos(x) = sin(π 2 −x), sin(x) = cos(π 2 −x) sin′ = cos cos′ = −sin Exercice 6. 1. Développer cos(a + b) et cos(a −b). 2. En déduire la transformation en somme de cos(a) cos(b). 3. Même chose pour sin(a) sin(b) Exercice 7. Montrer que cos(3x) = 4 cos3(x) −3 cos(x). Exercice 8. On définit la fonction tan : x →sin(x) cos(x) 1. Déterminer le domaine de définition D. 2. Montrer que tan′(x) = 1 + tan2(x) = 1 cos2(x) 3. Étudier les variations de la fonction sur ] −π 2 , π 2 [ en précisant les limites aux bornes de l’in- tervalle puis tracer l’allure du graphe. 4. Montrer que la fonction est periodique de periode π. 3 Limites lim x→0 x̸=0 sin(x) x = 1, lim x→0 x̸=0 cos(x) −1 x = 0, lim x→0 x̸=0 ex −1 x = 1, lim x→0 x̸=0 ln(1 + x) x = 1, α > 0, n ∈N∗: lim x→∞ eαx xn = +∞ lim x→−∞eαxxn = 0, lim x→0+ ln(x)nx = 0 4 uploads/Philosophie/ revision-lycee.pdf

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